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Forum "Rationale Funktionen" - Diskussion gebr.rat.fkt. schar
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Diskussion gebr.rat.fkt. schar: erster Ansatz, morgen mehr
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Mo 20.03.2006
Autor: B-LaSh

Aufgabe
[mm] {f_{k}(x) }= \bruch{x}{x^{2}+x+k} [/mm]


Diese Aufgabe hat uns unser Mathelehrer heute gegeben, mit der Zusatzinformation, es sei die "königin der Funktionen".
Wir sollen eine volständige Diskussion zu dieser Funktion durchführen, jedoch meinte er, das wir die Wendestellen weglasen könnten, da es auch so genug Arbeit sei.
Ich bin jetzt nochz nicht so weit, wollt nur schonmal fragen ob denn mein Ansatz stimmt.
Und zwar hab ich mir überlegt, dass ich insgesamt wohl 3 Diskussionen durchführen muss,
eine für [mm] k<\bruch{1}{4}, [/mm]
eine für [mm] k=\bruch{1}{4} [/mm]
und eine für [mm] k>\bruch{1}{4} [/mm]

stimmt meine Überlegung denn soweit?
Morgen werde ich dann meine Fortschritte posten, vielen dank schonmal,
FranZ


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Diskussion gebr.rat.fkt. schar: nur für Definitionsbereich
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:14 Mo 20.03.2006
Autor: Loddar

Hallo B-Lash,

[willkommenmr] !!


Deine Idee ist an sich nicht verkehrt, allerdings auch überflüssig. Du brauchst lediglich eine Kurvendiskussion durchführen.


Deine genannte Fallunterscheidung ist lediglich relevant für die Bestimmung des Definitionsbereiches, Polstellen etc.

Dabei ist dann auch noch der Fall $k \ = \ 0$ interessant, da hier $x_$ gekürzt werden kann.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Diskussion gebr.rat.fkt. schar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 Di 21.03.2006
Autor: B-LaSh

[mm] {f_{k}(x) }= \bruch{x}{x^{2}+x+k} [/mm]

So inzwischen bin ich weiter gekommen, hab mich aber bei den Extremstellen aufgehangen.
Hier meine bisherigen Ergebnisse:

1. Definitionsmenge:

[mm] k<\bruch{1}{4} [/mm]

[mm] D=\IR \not= (\pm \wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2}) [/mm]


[mm] k=\bruch{1}{4} [/mm]

[mm] D=\IR \not= (-\bruch{1}{2}) [/mm]


[mm] k>\bruch{1}{4} [/mm]

[mm] D=\IR [/mm]


k=0

[mm] D=\IR \not=(-1;0) [/mm]


2.Symmetrie

Meine Meinung nach ist keine Symmetrie vorhanden.


3.Grenzverhalten

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=+0 [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=-0 [/mm]  (x soll gegen -unendlich, wusst aber den code dafür nich)


Polstellen:

[mm] k<\bruch{1}{4} [/mm]

[mm] \wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2} [/mm] ist Polstelle mit VZW von + nach -

[mm] -\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2} [/mm] ist Polstelle mit VZW von - nach +


[mm] k=\bruch{1}{4} [/mm]

[mm] -\bruch{1}{2} [/mm] ist negative Polstelle


k=0

0 ist Polstelle mit VZW von + nach -


4.Nullstellen

x=0


5.Ableitungen


1.Ableitung = [mm] \bruch{-x^2+k}{(x^2+x+k)^4} [/mm]

2.Ableitung = [mm] \bruch{2x^3-6kx+2k}{(x^2+x+k)^3} [/mm]


6. Extremstellen

[mm] x=\pm\wurzel{k} [/mm]

ich schaff es allerdings nicht diesen Kandidaten mit der 2. Bleitung zu überprüfen, wär nett wenn mir da jemand helfen könnte.
Wäre auch nett wenn jemand überhaupt mal über meine bisherigen Rechnungen drüber gucken könnte ;)

Bezug
                
Bezug
Diskussion gebr.rat.fkt. schar: (kleine) Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Di 21.03.2006
Autor: Loddar

Hall B-Lash!


> 1. Definitionsmenge:
>  
> [mm]k<\bruch{1}{4}[/mm]
>  
> [mm]D=\IR \not= (\pm \wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2})[/mm]
>  
>
> [mm]k=\bruch{1}{4}[/mm]
>  
> [mm]D=\IR \not= (-\bruch{1}{2})[/mm]
>  
>
> [mm]k>\bruch{1}{4}[/mm]
>  
> [mm]D=\IR[/mm]
>  
>
> k=0
>  
> [mm]D=\IR \not=(-1;0)[/mm]

[daumenhoch]



> 2.Symmetrie
>  
> Meine Meinung nach ist keine Symmetrie vorhanden.

[daumenhoch]




> 3.Grenzverhalten
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}=+0[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}=-0[/mm]  (x soll gegen -unendlich,
> wusst aber den code dafür nich)

[daumenhoch] Sieht doch wunderbar aus ...




> Polstellen:
>  
> [mm]k<\bruch{1}{4}[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2}[/mm] ist Polstelle mit VZW
> von + nach -
>  
> [mm]-\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2}[/mm] ist Polstelle mit VZW
> von - nach +

[daumenhoch]


> [mm]k=\bruch{1}{4}[/mm]
>  
> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] ist negative Polstelle

Was ist eine negative Polstelle? [aeh] Wie sieht es hier mit VZW aus?


> k=0
>  
> 0 ist Polstelle mit VZW von + nach -

[daumenhoch] Siehe oben!




> 4.Nullstellen
>  
> x=0

Achtung: Hier ist aber zu berücksichtigen, dass dies nur gilt für $k \ [mm] \not= [/mm] 0$ , da $x \ = \ 0$ sonst vom Definitionsbereich ausgeschlossen ist.




> 5.Ableitungen
>
> 1.Ableitung = [mm]\bruch{-x^2+k}{(x^2+x+k)^4}[/mm]

Tippfehler? Der Exponent im im Nenner muss [mm] $(...)^{\red{2}}$ [/mm] lauten.

  

> 2.Ableitung = [mm]\bruch{2x^3-6kx+2k}{(x^2+x+k)^3}[/mm]

[daumenhoch]




> 6. Extremstellen
>  
> [mm]x=\pm\wurzel{k}[/mm]

[daumenhoch]


Tipp fürs Einsetzen in die 2. Ableitung:
Bedenke, dass gilt: [mm] $\left( \ \pm\wurzel{k} \ \right)^3 [/mm] \ = \ [mm] \pm k*\wurzel{k}$ [/mm] .

Schaffst Du es nun? Schließlich hast Du das bis hierher auch prima gelöst!


Gruß
Loddar


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Diskussion gebr.rat.fkt. schar: vergessen ;)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Di 21.03.2006
Autor: B-LaSh

Dankeschön,

das mit der behebbaren Lücke bei 0 (wenn k=0) hab ich auch gerade gemerkt =)
und ich hatte evrgessen den Fall -1 durch zu gehen.

Mit negativer Polstelle (so haben wir es im Unterricht gelernt) meine ich dass der Graph an beiden Seiten nach - Unendlich läuft.

Ich probier es jetzt nochmal mit dem einsetzen,
Vielen Dank Loddar

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Diskussion gebr.rat.fkt. schar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Di 21.03.2006
Autor: B-LaSh

Bei der 1. Ableitung handelte es sich tatsächlich nur um einen Tippfehler ;)
(ansonsten wär die 2. a auch kaum richtig ^^)

So, ich häng mich bei der Extremstellenüberprüfung immer an folgender Stelle auf:

[mm] 2.Ableitung(\wurzel{k})=\bruch{-4k\wurzel{k}+2k}{8k^3+6k^2+12k^2\wurzel{k}+k\wurzel{k}} [/mm]

ich weiß nicht wie ich den Term weiter vereinfachen könnte...
Hab ich bis dahin was falsch gemacht?
oder kann mir vielleicht jemand nen kleinen tipp geben? =)

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Diskussion gebr.rat.fkt. schar: Voraussetzung beachten!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Di 21.03.2006
Autor: Loddar

Hallo B-Lash!


Zunächst muss man festhalten, dass lediglich (mögliche) Extremstellen existieren, wenn gilt: $k \ > \ 0$ . Anderenfalls wäre ja der Ausdruck [mm] $x_e [/mm] \ = \ [mm] \pm\ \wurzel{k}$ [/mm] nicht definiert.


[mm]f_k''(\wurzel{k})=\bruch{-4k\wurzel{k}+2k}{8k^3+6k^2+12k^2\wurzel{k}+k\wurzel{k}}[/mm]

[ok] Stimmt soweit (ich hätte im Zaäher nicht ausmultipliziert).

Klammern wir im Zähler mal aus:

[mm]f_k''(\wurzel{k})=\bruch{2k*\left(1-2\wurzel{k}\right)}{8k^3+6k^2+12k^2\wurzel{k}+k\wurzel{k}}[/mm]


Da für $k \ > \ 0$ der Nenner immer positiv ist, muss man lediglich für den Asudruck [mm] $1-2\wurzel{k}$ [/mm] eine Fallunterscheidung machen.

Für welchen Wert wird denn [mm] $1-2*\wurzel{k} [/mm] \ = \ 0$ ? Dann greift nämlich auch das hinreichende Kriterium nicht.


Gruß
Loddar


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Diskussion gebr.rat.fkt. schar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Di 21.03.2006
Autor: B-LaSh

So jetzt bin ich fast fertig,
Wendestellen berechnen brauchten wir ja zum Glück nicht. (habs mir mal angeguckt, wär ich wohl denk ich mal auch nicht drauf gekommen...)
Nur beim Zeichnen ist mir etwas aufgefallen was ich auch früher hätte sehen müssen.
Bei den Polstellen muss man nochmal weiter unterteilen:

denn

>  
> [mm]k<\bruch{1}{4}[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2}[/mm] ist Polstelle mit VZW
> von + nach -
>  
> [mm]-\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2}[/mm] ist Polstelle mit VZW
> von - nach +

gilt nur für [mm] 0
allerdings komm ich bei k<0 auf keine brauchbare Lösung um die Polstellen zu bestimmen =(

Bezug
                                
Bezug
Diskussion gebr.rat.fkt. schar: Funkyplot
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Di 21.03.2006
Autor: informix

Hallo B-LaSH,
ich klinke mich mal einfach in Eure Diskussion ein:
kennst du []Funkyplot noch nicht?
Ich habe deine Funktion mal für drei Parameterwerte gezeichnet; hilft dir das zum Verständnis?
[Dateianhang nicht öffentlich]

> So jetzt bin ich fast fertig,
>  Wendestellen berechnen brauchten wir ja zum Glück nicht.
> (habs mir mal angeguckt, wär ich wohl denk ich mal auch
> nicht drauf gekommen...)
>   Nur beim Zeichnen ist mir etwas aufgefallen was ich auch
> früher hätte sehen müssen.
>  Bei den Polstellen muss man nochmal weiter unterteilen:
>  
> denn
>  
> >  

> > [mm]k<\bruch{1}{4}[/mm]
> >  

> > [mm]\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2}[/mm] ist Polstelle mit VZW
> > von + nach -
> >  

> > [mm]-\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2}[/mm] ist Polstelle mit VZW
> > von - nach +
>  
> gilt nur für [mm]0
>  
> allerdings komm ich bei k<0 auf keine brauchbare Lösung um
> die Polstellen zu bestimmen =(

Gruß informix


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
Diskussion gebr.rat.fkt. schar: Polstellen wenn k=0
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Di 21.03.2006
Autor: B-LaSh

Hallo Informix,

danke für die Grafik, aber die Graphen hatte ich mir schlauerweise auch schon gezeichnet ;)

aber bei meiner Frage bin ich damit imemr noch nicht weiter.

Denn ich bin soweit fertig mit der Diskussion,
hab aber beim zeichnen gemerkt das ich etwas vergessen hatte
und zwar gilt:

Polstellen:

[mm] k<\bruch{1}{4} [/mm]

[mm] \wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2} [/mm] ist Polstelle mit VZW von + nach -

[mm] -\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2} [/mm] ist Polstelle mit VZW von - nach +

nur für [mm] 0
für k<0 müsste man also auch noch die Polstellen berechnen, da weiß ich allerdings nicht wie =/

wäre nett wenn mir noch jemand helfen könnte


EDIT:


bin selbst drauf gekommen ;)
war n kleiner Denkfehler drin,

dadurch dass

[mm] \wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2} [/mm]

für k<0 immer größer als 0 ist, ändern sich die Polstellen und mein Problem hat sich gelöst (=

Bezug
        
Bezug
Diskussion gebr.rat.fkt. schar: Wendestellen
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:46 Di 21.03.2006
Autor: B-LaSh

also, jetzt hat mich doch der Ehrgeiz gepackt und ich wollte mal versuchen, die Wendestellen zu berechnen,
Hierbei scheitere ich allerdings schon im Ansatz =(

ich muss ja 2.Ableitung = 0 setzen
sprich, Zähler muss 0 werden

also:

[mm] 0=2x^3-6kx+2k [/mm]

aber ab hier komm ich schon nicht mehr weiter,
klar, man könnte durch 2 teilen, aber auch das hat kaum Effekt =(

kann mir vielleicht noch jemand helfen?
am besten wäre noch heute ^^

Bezug
                
Bezug
Diskussion gebr.rat.fkt. schar: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 22:02 Di 21.03.2006
Autor: Hiroschiwa


> also, jetzt hat mich doch der Ehrgeiz gepackt und ich
> wollte mal versuchen, die Wendestellen zu berechnen,
>  Hierbei scheitere ich allerdings schon im Ansatz =(
>  
> ich muss ja 2.Ableitung = 0 setzen
>  sprich, Zähler muss 0 werden

richtig

> also:
>  
> [mm]0=2x^3-6kx+2k[/mm]

richtig

> aber ab hier komm ich schon nicht mehr weiter,
>  klar, man könnte durch 2 teilen, aber auch das hat kaum
> Effekt =(

Doch hat es, [mm] 0=x^{3}-3*k*x+k [/mm] ist doch schon mal leichter

Jetzte ratest du eine Nullstelle, ich rate mal x=2*k
probe: 0= 2k-3k+k=0 --> x=2k ist deine erste nullstelle

jetz polynomdivision durch die nullstelle sprich
[mm] x^{3}-3*k*x+k [/mm] : (x-2k)

dadurch "befreist" du die gleichung 3. grades von der nullstelle und hast eine gleichung 2. grades die du mit der p/q formel lösen kannst.


Leider alles falsch. So ein mist. Ich würde fast sagen das es keine allgemeine lösung gibt. bin selber auf die lösung/-weg gespannt



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Diskussion gebr.rat.fkt. schar: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:04 Di 21.03.2006
Autor: B-LaSh

oH kLar, danke,
wieso bin ich nicht selbst auf Polynomdivision gekommen ;)

Bezug
                        
Bezug
Diskussion gebr.rat.fkt. schar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 Di 21.03.2006
Autor: B-LaSh


>  >  klar, man könnte durch 2 teilen, aber auch das hat kaum
> > Effekt =(
>  
> Doch hat es, [mm]0=x^{3}-3*k*x+k[/mm] ist doch schon mal leichter
>  
> Jetzte ratest du eine Nullstelle, ich rate mal x=2*k
>  probe: 0= 2k-3k+k=0 --> x=2k ist deine erste nullstelle

ne leider nicht, es wäre [mm] 0=(2k)^3-3k*2k+k [/mm]

und somit keine nullstelle =(


>  
> jetz polynomdivision durch die nullstelle sprich
>  [mm]x^{3}-3*k*x+k[/mm] : (x-2k)
>  
> dadurch "befreist" du die gleichung 3. grades von der
> nullstelle und hast eine gleichung 2. grades die du mit der
> p/q formel lösen kannst.
>
>  


Bezug
                
Bezug
Diskussion gebr.rat.fkt. schar: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:23 Di 21.03.2006
Autor: B-LaSh


> also, jetzt hat mich doch der Ehrgeiz gepackt und ich
> wollte mal versuchen, die Wendestellen zu berechnen,
>  Hierbei scheitere ich allerdings schon im Ansatz =(
>  
> ich muss ja 2.Ableitung = 0 setzen
>  sprich, Zähler muss 0 werden
>  
> also:
>  
> [mm]0=2x^3-6kx+2k[/mm]
>  
> aber ab hier komm ich schon nicht mehr weiter,
>  klar, man könnte durch 2 teilen, aber auch das hat kaum
> Effekt =(
>  
> kann mir vielleicht noch jemand helfen?
>  am besten wäre noch heute ^^


hat vielleicht sonst noch jemand eine idee, oder gibts es vielleicht echt keinen Lösungsweg?

Bezug
                
Bezug
Diskussion gebr.rat.fkt. schar: Die Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:54 Mi 22.03.2006
Autor: dormant

Hallo!

> [mm]0=2x^3-6kx+2k[/mm]
>  
> aber ab hier komm ich schon nicht mehr weiter,

Ich schreibe es ungerne, aber das geht mit der Formel von Cardano. In ihrer vereinfachten Form glücklicherweise:

[mm] x^{3}-3kx+k=0 [/mm]

[mm] \gdw x=\wurzel[3]{-\bruch{k}{2}+\wurzel{\bruch{k^{2}}{4}-k^{3}}}+\wurzel[3]{-\bruch{k}{2}-\wurzel{\bruch{k^{2}}{4}-k^{3}}}. [/mm]

Aber ob dich bei deiner Aufgabe weiterbringt...

Gruß,
dormant

Bezug
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