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| Aufgabe | | Entscheiden Sie, ob die Folge [mm](a_n)_n\in\IN[/mm] beschränkt sind und ob sie konvergieren oder divergieren: [mm][mm] a_n:=\bruch {2^n} {(-1)^n n!} [/mm] |
Hallo,
Kann mir hierzu jemand einen Tipp geben? Ich habe herausgefunden, dass n! für große n schneller wächst als [mm]2^n[/mm]. Aber wie komme ich dann weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke und LG, Fredi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Di 22.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Var 1: Stirlingsche Formel für n1
Var 2: für n [mm] \ge [/mm] 6 gilt [mm] n!>n*2^n [/mm] (beweis durch vollst. induktion..)
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Hallo,
Die Stirlingsche Formel hatten wir noch nicht, daher nehme ich an, wir sollen es ohne sie lösen.
Die Aussage unten ist mir klar, aber was fange ich jetzt damit an? Ich kann ja immer noch nicht sagen, wie viel schneller n! gegenüber [mm]2^n[/mm] wächst. Also auch nicht, ob es einen Grenzwert gibt oder nicht :/.
LG
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Nunja,
du kannst (bzw musst sogar) benutzen, daß für [mm]n \ge 4[/mm] gilt [mm]n! \ge 2^n [/mm].
Da brauchst du keinen grossen Beweis für, das ergibt sich einfach aus der Definition von beiden.
z.z. das [mm] a_n [/mm] für [mm] n \ge 4[/mm] durch 1 beschränkt ist, ist dann nicht mehr so schwer und mit der Definition des Grenzwerts zu zeigen, daß dies ne Nullfolge ist auch nicht mehr.
Gruß,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Di 22.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Es gilt dann
[mm] |a_{n}| [/mm] < [mm] \bruch{2^n}{n*2^n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}und [/mm] damit hast du sowohl die Beschränktheit als auch die Konvrgenz gegen 0 gezeigt
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Hallo wauwau,
Wie kommst du da hin? Ist [mm]n![/mm] das gleiche wie [mm]n*2^n[/mm]?
Liebe Grüße
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Hallo Fredi!
> Wie kommst du da hin? Ist [mm]n![/mm] das gleiche wie [mm]n*2^n[/mm]?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, ist es nicht.
Aber es wurde hier wie folgt abgeschätzt für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 6$ (was man evtl. noch z.B. durch vollständige Induktion beweisen muss):
$n! \ > \ [mm] n*2^n$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunnner
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