Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Fr 23.05.2008 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Sei [mm] a_k=(-1)^k [/mm] k.
Im Lösungsvorschlag steht dann [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k [/mm] k ist divergent, da [mm] (a_k) [/mm] keine Nullfolge ist.
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In der Aufgabe gings zuvor um die Bestimmung des Konvergenzradius der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k [/mm] k [mm] x^{4k}. [/mm] Da hab ich dann mit dem Quotienkriterium für Potenzreihen r=1 rausgebracht. Und nun muss die Reihe auf Konvergenz an dan Randstellen untersucht werden. Und wenn ich dann [mm] x=\pm1 [/mm] in die Reihe einsetze, dann kommt obiger Term raus.
Und dann kapier ich irgendwie den Lösungsvorschlag nicht...Das wäre ja dann die Umkehrung des Leibniz-Kriteriums, oder? Aber gilt die überhaupt? Oder wie könnte ich die Divergenz in den Randstellen sonst noch zeigen?
Grüße, Marina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Fr 23.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]a_k=(-1)^k k[/mm].
> Im Lösungsvorschlag steht dann [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^kk[/mm]
> ist divergent, da [mm](a_k)[/mm] keine Nullfolge ist.
> In der Aufgabe gings zuvor um die Bestimmung des
> Konvergenzradius der Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^kkx^{4k}[/mm].
> Da hab ich dann mit dem Quotienkriterium für
> Potenzreihen r=1 rausgebracht.
Quotientenkriterium? Also die Folge der Koeffizienten ist doch hier
[mm]c_j:=\begin{cases}(-1)^\frac{j}{4}\cdot\frac{j}{4}&\text{falls }4|j\\0&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
Da sind ist die Quotienten unendlich oft nicht definiert. Da musst du schon ziemlich vorsichtig sein.
Nimm besser dieses andere Kriterium [mm] $$1/r=\limsup_{j\to\infty}\sqrt[j]{|c_j|}$$
[/mm]
Damit solltest du auf dein $r=1$ kommen.
> Und nun muss die Reihe auf
> Konvergenz an dan Randstellen untersucht werden. Und wenn
> ich dann [mm]x=\pm1[/mm] in die Reihe einsetze, dann kommt obiger
> Term raus.
Richtig (Ich nehme an ihr sollt nur [mm] $x\in\IR$ [/mm] betrachten, und nicht aus [mm] $\IC$)
[/mm]
> Und dann kapier ich irgendwie den Lösungsvorschlag
> nicht... Das wäre ja dann die Umkehrung des
> Leibniz-Kriteriums, oder? Aber gilt die überhaupt?
Die Umkehrung des Leibnizkriteriums wäre
[mm]\sum_{k=0}^\infty (-1)^ka_k\text{ konvergiert }\Rightarrow a_k\text{ ist monotone, reelle Nullfolge}[/mm]
Bist du sicher dass du das meinst? (Die gilt natürlich nicht, betrachte z.B. [mm] $a_k=\frac{(-1)^k}{k^2}$)
[/mm]
> Oder wie könnte ich die Divergenz in den Randstellen sonst noch
> zeigen?
Der Lösungsvorschlag ist schon richtig. Damit eine Reihe konvergiert, müssen die Summanden eine Nullfolge sein,
das ist hier offensichtlich nicht erfüllt, denn die Folge ist nichtmal beschränkt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Fr 23.05.2008 | | Autor: | lubalu |
Ah ja ok...danke schon mal...
Ja, wir betrachen nur [mm] x\in\IR.
[/mm]
Also kann ich das QK hier nicht anwenden?Aber mit dem anderen Kriterium...Ich komm da immer nicht auf den lim sup...Ich glaub,ich hab da irgendwas nicht ganz verstanden. Kannst Du vllt mal zeigen, wie du mit dem WK auf r=1 kommst?!
Die nächste Teilaufgabe ist dann:
b) Man bestimme die rationale Funktion, gegen die die Reihe im Innern des Konvergenzintervalls konvergiert.
Hier gibt es bestimmte Sätze, da gehts um Ableitung und geometrische Reihe und so...Und dann soll man auf diese Funktion kommen...Könnt ihr mir da mal einen Tipp geben, was ich da überhaupt tun soll?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Fr 23.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ah ja ok...danke schon mal...
> Ja, wir betrachen nur [mm]x\in\IR.[/mm]
> Also kann ich das QK hier nicht anwenden?
Naja nicht ohne weiteres, man könnte z.B. [mm] $z=x^4$ [/mm] substituieren dann hat man die Nullen quasi weggeschmissen. Dann muss am Ende nur den berechneten Konvergenzradius rücksubstituieren (in dem Fall ändert das nix weil der Radius gerade 1 war und [mm] $|x^4|<1\Leftrightarrow|x|<1$).
[/mm]
> Kannst Du vllt mal zeigen, wie du mit dem WK auf r=1
> kommst?!
Also wir haben
[mm] $$c_j:=\begin{cases}(-1)^\frac{j}{4}\cdot\frac{j}{4}&\text{falls }4|j\\0&\text{sonst}\end{cases}$$
[/mm]
Damit ist
[mm] $$1/r=\limsup_{j\to\infty}\sqrt[j]{|c_j|}\stackrel{(1)}{=}\limsup_{j\to\infty}\sqrt[j]{|c_{4j}|}\stackrel{(2)}{=}\limsup_{j\to\infty}\sqrt[j]{j}=1$
[/mm]
Bei (1) schmeißen wir die Nullen weg, weil wir wissen, dass 0 nicht der maximale Häufungspunkt sein kann, da unendlich viele Folgenglieder größer als 0 sind. Bei (2) können wir dann auch noch das [mm] (-1)^k [/mm] vergessen wegen dem Betrag, und was dann dasteht konvergiert gegen 1.
> Die nächste Teilaufgabe ist dann:
> b) Man bestimme die rationale Funktion, gegen die die
> Reihe im Innern des Konvergenzintervalls konvergiert.
Also Mathematica spuckt einem prompt die Lösung aus und die sieht auch recht nett aus, aber wie man darauf kommt weiß ich leider auch nicht genau.
Jedenfalls würde ich erstmal versuchen das zu vereinfachen, z.b. Substituieren und Auseinandernehmen, also sei [mm] $z:=x^4$, [/mm] dann ist
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty(-1)^kkx^{4k}=\sum_{k=1}^\infty(-1)^kkz^k=\sum_{k=1}^\infty 2kz^{2k}-\sum_{k=1}^\infty (2k-1)z^{2k-1}$$
[/mm]
So sind wir zumindest schonmal das [mm] $x^4$ [/mm] und das [mm] $(-1)^k$ [/mm] losgeworden, leider bringt uns gliedweises integrieren nicht auf eine geometrische Reihe oder sowas... da musst du wohl mal ein bischen forschen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mo 26.05.2008 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | | Man bestimme die rationale Funktion, gegen die die gegebene Reihe (siehe oben) im Innern des Konvergenzintervalls konvergiert. |
Also, ich hab mir jetzt nochmal den Lösungsvorschlag angeschaut, aber ich kapiers einfach nicht, was das überhaupt sein soll bzw. warum ich das machen muss... Ich schreib mal auf, was da steht...
Für |x|<1 gilt: [mm] \bruch{1}{1+x^4} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-x^4)^k [/mm] (geometrische Reihe)
Für |x|<1 darf die Reihe gliedweise differenziert werden:
[mm] \bruch{-4x^3}{(1+x^4)^2} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k [/mm] 4k [mm] x^{4k-1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{x} \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k [/mm] k [mm] x^{4k} [/mm]
=> [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k [/mm] k [mm] x^{4k} [/mm] = - [mm] \bruch{x^4}{(1+x^4)^2}
[/mm]
Das war der Eintrag vom Lösungsvorschlag. Wie kommt man auf sowas? Bzw. warum muss ich das überhaupt machen? Also die geometrische Reihe selbt kapier ich schon, aber ich weiß ned, was man da überhaupt machen muss und warum ich das hier brauche...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Di 27.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Für |x|<1 gilt: [mm]\bruch{1}{1+x^4}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-x^4)^k[/mm]
klar.
> Für |x|<1 darf die Reihe gliedweise differenziert werden:
> [mm]\bruch{-4x^3}{(1+x^4)^2}=\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k4kx^{4k-1}=\bruch{4}{x} \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^kkx^{4k}[/mm]
Für die erste Gleichheit wurde einfach die oberste Gleichung mit der geometrischen Reihe auf beiden Seiten differenziert. Die zweite Gleichheit ist einfach nur Ausklammern von $4/x$ (Technisch gesehen benutzt man dazu die Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen, das Distributivgesetz gilt hier nicht! Man beachte außerdem den Fall $x=0$), und findet damit unsere gesuchte Reihe wieder.
Insgesamt gilt damit also
[mm]\bruch{-4x^3}{(1+x^4)^2}=\bruch{4}{x} \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^kkx^{4k}[/mm]
Multiplikation mit [mm] $\frac{x}{4}$ [/mm] liefert
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^kkx^{4k} = -\bruch{x^4}{(1+x^4)^2}[/mm]
Fertig. Nun sieht man auch, dass die gefundene Gleichheit sogar für $x=0$ gilt, was wir oben erstmal ausschließen mussten. Es stellen sich natürlich weitere Fragen, z.B. ob diese rationale Funktion auf anderen Intervallen ebenfalls Potenzreihenentwicklungen besitzt und wie diese ggf. aussehen.
> Das war der Eintrag vom Lösungsvorschlag. Wie kommt man auf
> sowas?
Tja, dafür gibts nunmal kein Patentrezept. Ich habe es auch nicht gesehen. Aber mach dir nichts draus, beim nächsten Mal wirst du wissen wie es geht, die entscheidende Beobachtung ist ja, das unsere Reihe fast so aussieht wie die Ableitung einer geometrischen Reihe (Versuch doch mal umgekehrt die Reihen zu einfachen, später komplizierteren rationalen Funktionen zu finden)
> Bzw. warum muss ich das überhaupt machen?
Naja, die Sache ist es gibt im Grunde außer der geometrischen Reihe keine Reihe, deren Grenzwert man einfach sofort hinschreiben kann, und wenn explizit nach dem Grenzwert gefragt wird muss man es ja irgendwie auf Reihen zurückführen, deren Grenzwerte man kennt. Es ist wichtig sich bei solchen Sachen klarzumachen, was einen stört, was einem helfen würde und warum alle bisherigen Lösungsversuche gescheitert sind.
Um auf Ideen zu kommen, darf man auch mal was "Verbotenes" machen, viele Physiker und auch der gute alte Euler haben sowas dauernd gemacht, z.B. ist ja hier erstmal überhaupt nicht so richtig klar, ob man eine Reihe überhaupt so differenzieren kann, aber ehe man sich darüber Gedanken macht schaut man natürlich erstmal wohin einen diese (geniale) Idee führen könnte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mi 28.05.2008 | | Autor: | lubalu |
Vielen Dank. Das hab ich jetzt soweit verstanden. Auch das Ableiten. Aber wie komm ich schon mal auf die erste Gleichheit?
> > Für |x|<1 gilt: [mm]\bruch{1}{1+x^4}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-x^4)^k[/mm]
Ich hätte ja auch
[mm] \bruch{1}{1-x^4} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (x^4)^k [/mm] nehmen können, oder? Also wie komm ich drauf, dass ich da [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-x^4)^k [/mm] betrachten muss und nichts anderes?
Und noch eine Frage: Macht das nix, dass die Reihen einmal bei k=0 (geometr. Reihe) und dann bei k=1 losgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo lubalu!
> Ich hätte ja auch [mm]\bruch{1}{1-x^4}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (x^4)^k[/mm] nehmen
> können, oder? Also wie komm ich drauf, dass ich da
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-x^4)^k[/mm] betrachten muss und nichts anderes?
Weil bei Deiner Variante das [mm] $(-1)^k$ [/mm] unter den Tisch fällt.
> Und noch eine Frage: Macht das nix, dass die Reihen einmal
> bei k=0 (geometr. Reihe) und dann bei k=1 losgehen?
Doch, da musst Du darauf achten. Die Formel für die unendliche geometrische Reihe beinhaltet ein $k \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] .
Sollte Deine Reihe also bei $k \ = \ 1$ straten, musst Du das Glied für $k \ = \ 0$ weider abziehen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 28.05.2008 | | Autor: | lubalu |
Ah ja...jetzt hab ichs verstanden. Danke!
Aber bei meiner Reihe fällt das k=0 sowieso weg, weil da ja eh 0 rauskommt, oder?
Grüße, Marina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mi 28.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ah ja...jetzt hab ichs verstanden. Danke!
> Aber bei meiner Reihe fällt das k=0 sowieso weg, weil da
> ja eh 0 rauskommt, oder
Nee das kommt einfach durchs Ableiten, die Konstanten Summanden fliegen raus:
[mm] $$\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=\frac{d}{dx}\left(a_0+a_1x^1+a_2x^2+...\right)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...=\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}$$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mi 28.05.2008 | | Autor: | lubalu |
Aso...danke!
Aber jetzt hab ich schon wieder ein Problem. Ich glaub, ich bin schon total doof und kann ned mal mehr ableiten.
Im ersten Schritt muss ich ja bei
[mm] \bruch{1}{1+x^4} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-x^4)^k
[/mm]
beide Seiten ableiten und dann sollte rauskommen:
[mm] \bruch{-4x^3}{(1+x^4)^2} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k [/mm] k [mm] x^{4k-1}...
[/mm]
Den ersten Term ableiten mit Quotientenregel ist klar, aber den zweiten Teil mit der Reihe, das hab ich schon mal rausbekommen und jetzt komm ich nicht mehr drauf bzw. ich hab den Zettel weggeschmissen. Könnt ihr mir vllt kurz die Rechenschritte sagen?
Sorry für die doofe Frage, aber ich steh anscheinend auf dem Schlauch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mi 28.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm]\bruch{1}{1+x^4}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-x^4)^k[/mm]
> beide Seiten ableiten und dann sollte rauskommen:
> [mm]\bruch{-4x^3}{(1+x^4)^2}=\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^kk x^{4k-1}[/mm]
Ja da haste ne 4 vergessen auf der rechten Seite...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mi 28.05.2008 | | Autor: | lubalu |
Ja, stimmt, danke! Aber ich komm leider trotzdem nicht auf die Ableitung:
> > [mm]\bruch{-4x^3}{(1+x^4)^2}=\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k4k x^{4k-1}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Do 29.05.2008 | | Autor: | pelzig |
Tja... dann zeig doch mal deinen Lösungsweg. Einer von uns beiden hat sich dann wohl verrechnet
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Do 29.05.2008 | | Autor: | lubalu |
Ja, das ist ja grad das Problem, dass ich auf diesen Lösungsweg nicht komme...irgendwie glaub ich, dass ich da grad vol auf dem Schlauch stehe...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Do 29.05.2008 | | Autor: | lubalu |
Also ich bin jetzt doch selber draufgekommen...Ich hab des nur immer verplant, dass ich da des [mm] (-1)^k [/mm] ausklammern muss...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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