Divergenz einer Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Di 25.11.2008 | | Autor: | Takeela |
| Aufgabe | | Konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*\wurzel[n]{n}}? [/mm] |
Ich bin ein wenig unsicher, was die formel richtige Beantwortung (bzw. den Beweis) dieser Frage betrifft. Ich behaupte, diese Reihe divergiert.
Denn nach dem Grenzwertkriterium muss gelten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n}}{b_{n}}=c, [/mm] wobei c>0 ist. Wenn nun [mm] a_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] b_{n}=\bruch{1}{\wurzel[n]{n}}, [/mm] so kann ich unter Verwendung der Konvergenzsätze sagen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n}}{b_{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n*\wurzel[n]{n}}=0. [/mm]
Demnach ist ja die Voraussetzung c>0 nicht erfüllt. Reicht das als Beweis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Di 25.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Konvergiert die Reihe [mm]}\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*\wurzel[n]{n}?[/mm]
>
> Ich bin ein wenig unsicher, was die formel richtige
> Beantwortung (bzw. den Beweis) dieser Frage betrifft. Ich
> behaupte, diese Reihe divergiert.
das wird stimmen.
> Denn nach dem Grenzwertkriterium muss gelten
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n}}{b_{n}}=c,[/mm] wobei
> c>0 ist.
Was??? Wo hast Du denn das her? Vor allen Dingen: Welche [mm] $a_n,\;b_n$ [/mm] sind denn hier überhaupt gemeint? Also entweder ist das, was Du da schreibst, leider falsch, oder aus dem Zusammenhang gerissen... Ich versteh' jedenfalls nicht, was Du damit sagen willst.
> Wenn nun [mm]a_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{\wurzel[n]{n}},[/mm] so kann ich unter
> Verwendung der Konvergenzsätze sagen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n}}{b_{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n*\wurzel[n]{n}}=0.[/mm]
> Demnach ist ja die Voraussetzung c>0 nicht erfüllt. Reicht
> das als Beweis?
Ich verstehe überhaupt nicht, was Du hier machst. Mit Deinen [mm] $a_n,\;b_n$ [/mm] wäre [mm] $\frac{a_n}{b_n}=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{\sqrt[n]{n}}}=\frac{\sqrt[n]{n}}{n}$... [/mm] Sinn?!?!???
In Wahrheit stimmt:
Hier ist [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*\wurzel[n]{n}} \equiv\summe_{n=1}^{\infty} a_n\,,$ [/mm] also [mm] $a_n=\frac{1}{n*\sqrt[n]{n}}$.
[/mm]
Dann wäre [mm] $a_{n+1}/a_n=...$?
[/mm]
Hilft Dir das? Also ich weiß nicht.
Es geht hier anders:
Beachte, dass [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] strebt. Also gibt es (beachte auch [mm] $\sqrt[n]{n} \ge [/mm] 1$ für alle $n [mm] \in \IN$) [/mm] insbesondere ein [mm] $\,N\,$ [/mm] so dass $(0 < 1 [mm] \le)\;\;\;\sqrt[n]{n} \le [/mm] 3/2$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$.
Damit:
[mm] $\sum_{n=N}^\infty \bruch{1}{n*\wurzel[n]{n}} \ge \sum_{n=N}^\infty \frac{1}{n*\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\sum_{n=N}^\infty \frac{1}{n}$
[/mm]
Rest folgt, da rechterhand eine divergente Minorante steht. (Und weil die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] genau dann konvergiert, wenn für ein (und damit jedes) $N [mm] \in \IN$ [/mm] die Reihe [mm] $\sum_{n=N}^\infty a_n$ [/mm] konvergiert.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 25.11.2008 | | Autor: | Takeela |
Okay... ich habe mich bei [mm] b_{n} [/mm] vertippt. Es soll natürlich [mm] b_{n}=\wurzel[n]{n} [/mm] heißen. Und das was ich versucht habe, anzuwenden, ist das Grenzwertkriterium, das da lautet:
Seien [mm] (a_{n})_{n \in \IN} (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] zwei Folgen mit positiven Gliedern. Konvergiert
dann [mm] \bruch{a_{n}}{b_{n}} [/mm] gegen einen positiven Grenzwert c, so haben die Reihen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n}
[/mm]
das gleiche Konvergenzverhalten.
Hm.. aber da hab ich mich wohl in der Verwendung des Kriteriums getäuscht, ja?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Di 25.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay... ich habe mich bei [mm]b_{n}[/mm] vertippt. Es soll
> natürlich [mm]b_{n}=\wurzel[n]{n}[/mm] heißen. Und das was ich
> versucht habe, anzuwenden, ist das Grenzwertkriterium, das
> da lautet:
>
> Seien [mm](a_{n})_{n \in \IN} (b_{n})_{n \in \IN}[/mm] zwei Folgen
> mit positiven Gliedern. Konvergiert
> dann [mm]\bruch{a_{n}}{b_{n}}[/mm] gegen einen positiven Grenzwert
> c, so haben die Reihen
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm] und [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}[/mm]
> das gleiche Konvergenzverhalten.
ja okay, aber so, wie Du vorgehst, kannst Du das Kriterium hier nicht anwenden. (Es läßt sich anwenden, aber nicht mit diesen [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$.) [/mm]
Also mit [mm] $a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $b_n=\sqrt[n]{n}$ [/mm] wird [mm] $\frac{a_n}{b_n} \to [/mm] 0$ gelten, also sind die Voraussetzungen des Satzes nicht gegeben.
Aber selbst, wenn nun [mm] $\frac{a_n}{b_n} \to [/mm] c > 0$ konvergieren würde (was, wie gesagt, nicht der Fall ist!), dann wäre die Folgerung, dass dann (mit [mm] $\sum:=\sum_{n=1}^\infty$) [/mm]
[mm] $\sum a_n=\sum \frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $\sum b_n=\sum \sqrt[n]{n}$ [/mm] beide das gleiche Konvergenzverhalten haben (das stimmt zwar in der Tat, ist aber keine Folgerung aus dem Satz, da dieser nicht anwendbar ist, weil nicht alle Voraussetzungen erfüllt sind).
Was man machen kann:
Setze [mm] $a_n:=\frac{1}{n}*\frac{1}{\sqrt[n]{n}}$ [/mm] und [mm] $b_n:=\frac{1}{n}$. [/mm] Hier gilt nun [mm] $a_n/b_n \to [/mm] 1 > 0$ (Warum?).
Also hat [mm] $\sum a_n=\sum \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}$ [/mm] das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm] $\sum b_n=\sum \frac{1}{n}\,.$ [/mm] Weil [mm] $\sum \frac{1}{n}$ [/mm] bekanntlich divergiert, divergiert somit auch [mm] $\sum \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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