Divergenz von Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Fr 01.05.2015 | | Autor: | duduknow |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie auf Konvergenz: [mm] $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n - i * \sqrt{n}}$ [/mm] |
Hi,
ich bekomme diese Aufgabe nicht hin.
Ich habe ausgerechnet, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist, denn [mm] $\left| \frac{1}{n - i * \sqrt{n}} \right| [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{1}{n^2 + n}}$. [/mm] Das ist aber dennoch eine Nullfolge, also kann ich daraus keine Aussage über die Konvergenz treffen.
Wie verfahre ich nun weiter?
Wenn ich die Reihe umordnen dürfte, also [mm] $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n - i * \sqrt{n}} [/mm] = [mm] \sum_{n = 1}^\infty \frac{n + i * \sqrt{n}}{n^2 + n} [/mm] = [mm] \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n + 1} [/mm] + i * [mm] \sum_{n = 1}^\infty \frac{\sqrt{n}}{n^2 + n}$, [/mm] würde ich feststellen, dass der Realteil nicht konvergiert. Da die Reihe aber nicht absolut konvergiert, darf ich das überhaupt nicht umordnen(?)
Ich verstehe nicht, wie ich hier dann weiter mache. Bei den übrigen Aufgaben und in den Beispielen im Skript konvergieren die Reihen immer entweder absolut oder die Folge der Beträge ist keine Nullfolge.
Mit freundlichen Grüßen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Fr 01.05.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
hilft es dir, dass n²+n zwischen n² und n²+n² liegt?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Fr 01.05.2015 | | Autor: | duduknow |
Hi,
leider sehe ich überhaupt nicht, wo mir das hilft. :(
Die Reihenglieder selber kann ich nicht abschätzen, da sie komplex sind, und dass die Reihe über die Beträge divergiert weiß ich ja bereits.
Mit freundlichen Grüßen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Fr 01.05.2015 | | Autor: | abakus |
> und dass die Reihe über die Beträge
> divergiert weiß ich ja bereits.
>
Entschuldige bitte, dass du schon so weit warst, hatte ich überlesen.
Deine Umformung
[mm] \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n - i \cdot{} \sqrt{n}} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{n + i \cdot{} \sqrt{n}}{n^2 + n} [/mm]
liefert auf der rechten Seite nur komplexe Summanden, die in der GZE alle im ersten Quadranten liegen.
Die Argumente dieser komplexen Zahlen laufen als
[mm]arctan\frac{\sqrt{n}}{n}= arctan\frac{1}{ \sqrt{n} }[/mm] für wachsende n gegen arctan(0) und damit gegen Null selbst.
Das heißt: die Summanden haben kaum noch Imaginärteil, mit zunehmendem n besteht fast der ganze Betrag aus dem Realteil.
Angenommen, die Summe würde konvergieren. Dann müssten doch sowohl die Real- als auch die Imaginärteilsummen konvergieren.
Die Summe der Realteile divergiert jedoch.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Sa 02.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Es gilt folgender Satz:
Ist [mm] (z_n) [/mm] eine Folge kompxer Zahlen, [mm] x_n=Re(z_n) [/mm] und [mm] y_n=Re(z_n), [/mm] so konvergiert [mm] \sum z_n [/mm] genau dann, wenn [mm] \sum x_n [/mm] und [mm] \sum y_n [/mm] beide konvergieren.
Bei Dir ist [mm] x_n= \bruch{1}{n+1}
[/mm]
FRED
|
|
|
|
