Divergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}$ [/mm] eine divergente Reihe mit [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}=\infty$ [/mm] und positiven Gliedern (also [mm] $a_{n}>0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_{0}$) [/mm] sowie [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$. [/mm] Außerdem sei [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}c_{n}$ [/mm] eine konvergente Reihe mit ebenfalls positiven Gliedern. Man definiert nun die Folge:
[mm] [center]$d_{n}:=\begin{cases} a_{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -c_{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$[/center]
[/mm]
Zeigen Sie, dass auch [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}d_{n}=\infty.$ [/mm] |
Hallo,
meine Schwierigkeiten beginnen bereits in der ersten Zeile.
Wenn die Reihe [mm] $a_{n}$ [/mm] divergiert, also keinen Grenzwert besitzt, wie kann dann in der Angabe [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$ [/mm] stehen?
[mm] $a_{n}$ [/mm] ist divergent und [mm] $c_{n}$ [/mm] ist konvergent. [mm] $-c_{n}$ [/mm] ist doch dann ebenfalls konvergent.
Man kann doch dann sagen, dass [mm] $d_{n}$ [/mm] für gerades n divergiert und für ungerades n konvergiert; wie soll das dann gehen, dass [mm] $d_{n}$ [/mm] divergiert?
Vielen Dank für die Hilfe und Mühe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Hi Greeko,
Dir scheint der Unterschied zwische Folge und Reihe nicht klar zu sein.
Wir habe zunaächst eine Folge [mm] (a_n). [/mm] Daraus basteln wir uns eine neue Folge [mm] (s_n) [/mm] und zwar durch
[mm] $s_n:= a_1+a_2+...+a_n$
[/mm]
Die Folge [mm] (s_n) [/mm] wird auch so bezeichnet: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] heißt konvergent (divergent) : [mm] \gdw (s_n) [/mm] ist konvergent (divergent)
Nun gilt:
ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergent, so ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge.
Die Umkehrung gilt nicht: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}1/n [/mm] ist divergent, aber 1/n [mm] \to [/mm] 0
FRED
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| Aufgabe | Es sei $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n} [/mm] $ eine divergente Reihe mit $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}=\infty [/mm] $ und positiven Gliedern (also $ [mm] a_{n}>0 [/mm] $ für alle $ n [mm] \in \IN_{0} [/mm] $) sowie $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 [/mm] $. Außerdem sei $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_{n} [/mm] $ eine konvergente Reihe mit ebenfalls positiven Gliedern. Man definiert nun die Folge:
$ [mm] d_{n}:=\begin{cases} a_{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -c_{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] $
Zeigen Sie, dass auch $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}d_{n}=\infty.$ [/mm] |
Hi Fred,
vielen Dank für die Ausführung.
Ich finde diese Aufgabe wirklich sehr schwer und wage mich mal über den folgenden Gedanken an sie heran:
Um die Divergenz von $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}d_{n}$ [/mm] zu zeigen:
[mm] $\exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall n_{0} \exists m>n\ge n_{0} [/mm] : [mm] \left| \summe_{n=0}^{\infty}d_{n} \right| \ge \varepsilon$
[/mm]
Ist dieser Ansatz richtig und falls ja, wie baue ich die Fallunterscheidung mit ein?
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Mi 19.01.2011 | | Autor: | dormant |
Hi!
Der Sinn der Aufgabe ist, glaube ich die dritte Reihe in die ersten zwei zu zerlegen. Man zieht dann von einer divirgenten Teilreihe eine konvergente, oder so war es gemeint, glaube ich:
[mm] \sum_{n=0}^{\infty} d_n [/mm] = [mm] \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^{N} d_n [/mm] = [mm] \lim_{N\to\infty} \left(\sum_{n=0}^{N} a_{2n}-\sum_{n=0}^{N}c_{2n+1}\right).
[/mm]
Der zweite Term konvergiert (überleg's dir warum). Und der erste Term sollte jetzt divergieren. Jedoch fällt mir ein Beispiel ein, wo das nicht zutrifft, nämlich
[mm] a_{2n}=\bruch{1}{2^n} [/mm] und [mm] a_{2n+1}=\bruch{1}{n}.
[/mm]
Dann divergiert [mm] \sum_{n=0}^{\infty} a_n, [/mm] jedoch ist [mm] \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}<\infty [/mm] und in diesem fall ist auch die Reihe über [mm] d_n [/mm] konvergent. Also ist die Angabe nicht korrekt.
Grüße,
dormant
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| Aufgabe | Es sei $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n} [/mm] $ eine divergente Reihe mit $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}=\infty [/mm] $ und positiven Gliedern (also $ [mm] a_{n}>0 [/mm] $ für alle $ n [mm] \in \IN_{0} [/mm] $) sowie $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 [/mm] $. Außerdem sei $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_{n} [/mm] $ eine konvergente Reihe mit ebenfalls positiven Gliedern. Man definiert nun die Folge:
$ [mm] d_{n}:=\begin{cases} a_{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -c_{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] $
Zeigen Sie, dass auch $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}d_{n}=\infty. [/mm] $ |
Hallo dormant,
> Hi!
>
> Der Sinn der Aufgabe ist, glaube ich die dritte Reihe in
> die ersten zwei zu zerlegen. Man zieht dann von einer
> divirgenten Teilreihe eine konvergente, oder so war es
> gemeint, glaube ich:
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} d_n[/mm] = [mm]\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^{N} d_n[/mm]
> = [mm]\lim_{N\to\infty} \left(\sum_{n=0}^{N} a_{2n}-\sum_{n=0}^{N}c_{2n+1}\right).[/mm]
>
> Der zweite Term konvergiert (überleg's dir warum).
der zweite Term konvergiert, weil [mm] $c_{n}$ [/mm] laut Angabe konvergiert und sich im zweiten Term nur das Vorzeichen ändert. Ist diese Begründung richtig bzw. ausreichend?
> Und der
> erste Term sollte jetzt divergieren.
Bis hierher kann ich folgen.
> Jedoch fällt mir ein
> Beispiel ein, wo das nicht zutrifft, nämlich
>
> [mm]a_{2n}=\bruch{1}{2^n}[/mm] und [mm]a_{2n+1}=\bruch{1}{n}.[/mm]
>
> Dann divergiert [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_n,[/mm] jedoch ist
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}<\infty[/mm] und in diesem fall ist
> auch die Reihe über [mm]d_n[/mm] konvergent.
Hier verstehe ich nicht, warum [mm] $\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}<\infty$ [/mm] ist und warum die Reihe über [mm] $d_{n}$ [/mm] konvergent ist...?
> Also ist die Angabe nicht korrekt.
Also gilt [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}d_{n}=\infty$ [/mm] nicht?
Dachte, dass zu beweisende Angaben wie "Zeigen Sie, dass..." immer eine wahre Aussage beinhalten. :D
> Grüße,
> dormant
Danke für die Hilfe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Do 20.01.2011 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Es sei [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}[/mm] eine divergente Reihe mit
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}=\infty[/mm] und positiven Gliedern
> (also [mm]a_{n}>0[/mm] für alle [mm]n \in \IN_{0} [/mm]) sowie
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 [/mm]. Außerdem sei
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}c_{n}[/mm] eine konvergente Reihe mit
> ebenfalls positiven Gliedern. Man definiert nun die Folge:
>
> [mm]d_{n}:=\begin{cases} a_{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -c_{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
>
> Zeigen Sie, dass auch [mm]\summe_{n=0}^{\infty}d_{n}=\infty.[/mm]
> Hallo dormant,
>
> > Hi!
> >
> > Der Sinn der Aufgabe ist, glaube ich die dritte Reihe in
> > die ersten zwei zu zerlegen. Man zieht dann von einer
> > divirgenten Teilreihe eine konvergente, oder so war es
> > gemeint, glaube ich:
> >
> > [mm]\sum_{n=0}^{\infty} d_n[/mm] = [mm]\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^{N} d_n[/mm]
> > = [mm]\lim_{N\to\infty} \left(\sum_{n=0}^{N} a_{2n}-\sum_{n=0}^{N}c_{2n+1}\right).[/mm]
>
> >
> > Der zweite Term konvergiert (überleg's dir warum).
>
> der zweite Term konvergiert, weil [mm]c_{n}[/mm] laut Angabe
> konvergiert und sich im zweiten Term nur das Vorzeichen
> ändert. Ist diese Begründung richtig bzw. ausreichend?
>
> > Und der
> > erste Term sollte jetzt divergieren.
>
> Bis hierher kann ich folgen.
>
> > Jedoch fällt mir ein
> > Beispiel ein, wo das nicht zutrifft, nämlich
> >
> > [mm]a_{2n}=\bruch{1}{2^n}[/mm] und [mm]a_{2n+1}=\bruch{1}{n}.[/mm]
> >
> > Dann divergiert [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_n,[/mm] jedoch ist
> > [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}<\infty[/mm] und in diesem fall ist
> > auch die Reihe über [mm]d_n[/mm] konvergent.
>
> Hier verstehe ich nicht, warum [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}<\infty[/mm]
> ist und warum die Reihe über [mm]d_{n}[/mm] konvergent ist...?
Weil in meinem Beispiel [mm] \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}=\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n}<\infty.
[/mm]
> > Also ist die Angabe nicht korrekt.
>
> Also gilt [mm]\summe_{n=0}^{\infty}d_{n}=\infty[/mm] nicht?
>
> Dachte, dass zu beweisende Angaben wie "Zeigen Sie,
> dass..." immer eine wahre Aussage beinhalten. :D
Das denke ich auch. Deswegen bin ich der Meinung, dass die Angabe nicht korrekt ist. Entweder falsch gestellt, oder falsch abgeschrieben, oder es war etwas anderes gemeint.
> > Grüße,
> > dormant
>
> Danke für die Hilfe!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Grüße,
dormant
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| Aufgabe | Es sei $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n} [/mm] $ eine divergente Reihe mit $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}=\infty [/mm] $ und positiven Gliedern (also $ [mm] a_{n}>0 [/mm] $ für alle $ n [mm] \in \IN_{0} [/mm] $) sowie $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 [/mm] $. Außerdem sei $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_{n} [/mm] $ eine konvergente Reihe mit ebenfalls positiven Gliedern. Man definiert nun die Folge:
$ [mm] d_{n}:=\begin{cases} a_{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -c_{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] $
Zeigen Sie, dass auch $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}d_{n}=\infty. [/mm] $ |
Hallo dormant,
> > > Hi!
> > >
> > > Der Sinn der Aufgabe ist, glaube ich die dritte Reihe in
> > > die ersten zwei zu zerlegen. Man zieht dann von einer
> > > divirgenten Teilreihe eine konvergente, oder so war es
> > > gemeint, glaube ich:
> > >
> > > [mm]\sum_{n=0}^{\infty} d_n[/mm] = [mm]\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^{N} d_n[/mm]
> > > = [mm]\lim_{N\to\infty} \left(\sum_{n=0}^{N} a_{2n}-\sum_{n=0}^{N}c_{2n+1}\right).[/mm]
>
> > > Der zweite Term konvergiert (überleg's dir warum).
> >
> > der zweite Term konvergiert, weil [mm]c_{n}[/mm] laut Angabe
> > konvergiert und sich im zweiten Term nur das Vorzeichen
> > ändert. Ist diese Begründung richtig bzw. ausreichend?
> >
> > > Und der
> > > erste Term sollte jetzt divergieren.
> >
> > Bis hierher kann ich folgen.
> >
> > > Jedoch fällt mir ein
> > > Beispiel ein, wo das nicht zutrifft, nämlich
> > >
> > > [mm]a_{2n}=\bruch{1}{2^n}[/mm] und [mm]a_{2n+1}=\bruch{1}{n}.[/mm]
> > >
> > > Dann divergiert [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_n,[/mm] jedoch ist
> > > [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}<\infty[/mm] und in diesem fall ist
> > > auch die Reihe über [mm]d_n[/mm] konvergent.
> >
> > Hier verstehe ich nicht, warum [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}<\infty[/mm]
> > ist und warum die Reihe über [mm]d_{n}[/mm] konvergent ist...?
>
> Weil in meinem Beispiel [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}=\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n}<\infty.[/mm]
>
>
> > > Also ist die Angabe nicht korrekt.
> >
> > Also gilt [mm]\summe_{n=0}^{\infty}d_{n}=\infty[/mm] nicht?
> >
> > Dachte, dass zu beweisende Angaben wie "Zeigen Sie,
> > dass..." immer eine wahre Aussage beinhalten. :D
>
> Das denke ich auch. Deswegen bin ich der Meinung, dass die
> Angabe nicht korrekt ist. Entweder falsch gestellt, oder
> falsch abgeschrieben, oder es war etwas anderes gemeint.
ich habe die Angabe wirklich 1:1 übernommen. Nachdem das Ü-Blatt inzwischen seit einigen Tagen draußen ist, sind Fehler in der Angabe eher auszuschließen.
Falls jemand hier im Forum noch eine Idee zur dieser Aufgabe hat, bin ich für eine Antwort sehr dankbar. Glaube zwar nicht, dass das eine typische Klausur-Aufgabe ist, aber Vorsicht ist die Mutter der Porzellankiste. 
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:50 So 23.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo el,
> Es sei [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}[/mm] eine divergente Reihe mit
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}=\infty[/mm] und positiven Gliedern
> (also [mm]a_{n}>0[/mm] für alle [mm]n \in \IN_{0} [/mm]) sowie
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 [/mm]. Außerdem sei
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}c_{n}[/mm] eine konvergente Reihe mit
> ebenfalls positiven Gliedern. Man definiert nun die Folge:
>
> [mm]d_{n}:=\begin{cases} a_{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -c_{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
>
> Zeigen Sie, dass auch [mm]\summe_{n=0}^{\infty}d_{n}=\infty.[/mm]
die Aufgabe ist leider falsch gestellt. Betrachte mal
[mm] $$\sum a_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{n+1}\right)\equiv:\sum_{n=0}^\infty (a_{2n}+a_{2n+1})\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$a_n=\begin{cases} \frac{1}{\left(\frac{n}{2}+1\right)^2}, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ \frac{2}{n+1}, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Du wirst dann sehen, dass [mm] $\sum a_{2n}$ [/mm] konvergiert, und weil [mm] $\sum_{k=0}^\infty c_{2k+1} \le \sum_{k=1}^\infty c_k$ [/mm] ist, konvergiert auch [mm] $\sum_{k=0}^\infty c_{2k+1}$ [/mm] und daher (existiert bzw. konvergiert) auch [mm] $-\sum_{k=0}^\infty c_{2k+1}\,.$
[/mm]
Daher ergibt sich
[mm] $$\sum d_n=\sum_{k=0}^\infty (a_{2k}-c_{2k+1})=\left(\sum_{n=0}^\infty a_{2n}\right)-\sum_{k=0}^\infty c_{2k+1}\,,$$
[/mm]
und die rechte Seite ist als Differenz zweier Werte in [mm] $\IR$ [/mm] auch ein Wert in [mm] $\IR\,.$
[/mm]
Natürlich kannst Du gerne auch [mm] $\sum c_n$ [/mm] konkreter angeben. Zum Beispiel einfach:
[mm] $$\sum c_n=1+1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}+\ldots\equiv:\sum_{n=0}^\infty (c_{2n}+c_{2n+1})=e+e=2e\,.$$
[/mm]
Es kann sein, dass die Aufgabenstellung stimmt, wenn man zusätzlich fordert, dass die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] streng monoton gegen [mm] $0\,$ [/mm] fallen soll. Ich denke, dass man dann [mm] $\sum a_{2n}=\infty$ [/mm] nachweisen könnte, womit die ganze Aufgabe dann klar wäre, weil [mm] $\sum_{k=0}^\infty c_{2k+1}$ [/mm] natürlich aus den gleichen Gründen wie oben existiert.
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Es sei $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n} [/mm] $ eine divergente Reihe mit $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}=\infty [/mm] $ und positiven Gliedern (also $ [mm] a_{n}>0 [/mm] $ für alle $ n [mm] \in \IN_{0} [/mm] $) sowie $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 [/mm] $. Außerdem sei $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_{n} [/mm] $ eine konvergente Reihe mit ebenfalls positiven Gliedern. Man definiert nun die Folge:
$ [mm] d_{n}:=\begin{cases} a_{\bruch{n}{2}}, & \mbox{fuer } n \mbox{ gerade} \\ -c_{\bruch{n+1}{2}}, & \mbox{fuer } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] $
Zeigen Sie, dass auch $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}d_{n}=\infty. [/mm] $
Hinweis: Die Änderung, falls Sie sie bemerkt haben sollten, filtert spitzfindige Gegenbsp. zur ursprünglichen Aufgabenstellung z.B. der Form [mm] $a_{2n}=0$ [/mm] und [mm] $a_{2n+1}>0$ [/mm] heraus! |
Hallo Marcel,
vielen Dank, dass Du Dir die Zeit genommen hast, so ausführlich und kompetent auf meine Frage zu antworten. Aber:
Ich möchte an dieser Stelle keinen Kraftausdruck verwenden, aber die Aufgabe wurde von denen tatsächlich falsch gestellt! Anscheinend entstehen diese Aufgaben echt in der Kneipe... oder auf der "Gorch Fock".
Ausgehend von der neuen Aufgabenstellung, beginne ich die Aufgabe so:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} d_{n} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} d_{n} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^{\infty} a_{\bruch{2n}{2}}-\sum_{k=0}^{\infty} c_{\bruch{(2n+1)+1}{2}} \right)= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^{\infty} a_{n}-\sum_{k=0}^{\infty} c_{n+1} \right)$
[/mm]
Vorausgesetzt es ist bisher richtig, stelle ich mir das jetzt so vor, dass ich beweisen muss, dass [mm] $\sum_{k=0}^{\infty} a_{n}$ [/mm] divergiert und [mm] $\sum_{k=0}^{\infty} c_{n+1}$ [/mm] konvergiert.
Wie mache ich das und warum folgt aus [mm] $a_{n}$ [/mm] divergent, [mm] $c_{n}$ [/mm] konvergent dann [mm] $d_{n}$ [/mm] divergent?
Ich hoffe die ursprünglich falsche Aufgabenstellung schreckt jetzt niemanden ab. Jetzt sollte aber alles richtig sein.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Di 25.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo el,
> Es sei [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}[/mm] eine divergente Reihe mit
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}=\infty[/mm] und positiven Gliedern
> (also [mm]a_{n}>0[/mm] für alle [mm]n \in \IN_{0} [/mm]) sowie
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 [/mm]. Außerdem sei
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}c_{n}[/mm] eine konvergente Reihe mit
> ebenfalls positiven Gliedern. Man definiert nun die Folge:
>
> [mm]d_{n}:=\begin{cases} a_{\bruch{n}{2}}, & \mbox{fuer } n \mbox{ gerade} \\ -c_{\bruch{n+1}{2}}, & \mbox{fuer } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
>
> Zeigen Sie, dass auch [mm]\summe_{n=0}^{\infty}d_{n}=\infty.[/mm]
>
> Hinweis: Die Änderung, falls Sie sie bemerkt haben
> sollten, filtert spitzfindige Gegenbsp. zur ursprünglichen
> Aufgabenstellung z.B. der Form [mm]a_{2n}=0[/mm] und [mm]a_{2n+1}>0[/mm]
> heraus!
>
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank, dass Du Dir die Zeit genommen hast, so
> ausführlich und kompetent auf meine Frage zu antworten.
> Aber:
>
> Ich möchte an dieser Stelle keinen Kraftausdruck
> verwenden, aber die Aufgabe wurde von denen tatsächlich
> falsch gestellt! Anscheinend entstehen diese Aufgaben echt
> in der Kneipe... oder auf der "Gorch Fock".
>
> Ausgehend von der neuen Aufgabenstellung, beginne ich die
> Aufgabe so:
>
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} d_{n}[/mm] = [mm]\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} d_{n}[/mm]
> = [mm]\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^{\infty} a_{\bruch{2n}{2}}-\sum_{k=0}^{\infty} c_{\bruch{(2n+1)+1}{2}} \right)= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^{\infty} a_{n}-\sum_{k=0}^{\infty} c_{n+1} \right)$[/mm]
hier sind einige formale Fehler. Fange mal damit an, die Indizes zu kontrollieren:
Das [mm] $n\,$ [/mm] sollte sicher an dem Summenzeichen oben stehen, also irgendwo willst Du sowas
[mm] $$\sum_{\red{k}=0}^\infty t_{\red{k}}=\lim_{\blue{n}\to \infty} \sum_{\red{k}=0}^{\blue{n}}t_{\red{k}}$$
[/mm]
benutzen.
Dann die Schreibweise für gerade und ungerade Zahlen. Beschreibt sowas wie [mm] $2n/2\,$ [/mm] wirklich eine gerade Zahl? Ne, setze mal [mm] $n=3\,.$ [/mm] Wenn Du da Schwierigkeiten hast, kannst Du ruhig auch anstatt
[mm] $$\sum_{k=0}^5 p_{2k}$$
[/mm]
schreiben
[mm] $$\sum_{\substack{k=0\\k\text{ gerade}}}^{10}p_k\,,$$
[/mm]
oder anstelle
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty p_{2k}$$
[/mm]
schreibe halt
[mm] $$\sum_{\substack{k=0\\k\text{ gerade}}}^{\infty}p_k\,.$$
[/mm]
Wichtig:
Mach' Dir bitte klar, wie die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty d_k\,,$ [/mm] also die Teilsummenfolge [mm] $\left(\sum_{k=0}^n d_k\right)_{n \in \IN_0}\,,$ [/mm] genau aussieht. Und Du musst Dir auch klar machen, was das bedeutet, wenn Du etwas wie oben schreibst. Da steht nicht sowas wie, dass die Summe zweier konvergenter Reihen gegen die Summe der Grenzwerte der beiden Reihen konvergiert. Denn für so etwas braucht man ja erstmal zwei konvergente Reihen. Vielleicht kannst Du Deine Idee ja mal korrigieren und richtig ausführen; und dann "nimmst Du an (!!), dass die [mm] $\sum_{k=0}^\infty d_k$ [/mm] auch (in [mm] $\IR$) [/mm] konvergiere..." (unter dieser Annahme folgere dann einen Widerspruch).
> Vorausgesetzt es ist bisher richtig, stelle ich mir das
> jetzt so vor, dass ich beweisen muss, dass
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} a_{n}[/mm] divergiert und
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} c_{n+1}[/mm] konvergiert.
>
>
> Wie mache ich das und warum folgt aus [mm]a_{n}[/mm] divergent,
> [mm]c_{n}[/mm] konvergent dann [mm]d_{n}[/mm] divergent?
>
> Ich hoffe die ursprünglich falsche Aufgabenstellung
> schreckt jetzt niemanden ab. Jetzt sollte aber alles
> richtig sein.
>
> Gruß
> el_grecco
die Aufgabe ist so eigentlich relativ harmlos. Wir schreiben [mm] $c:=\sum_{n=1}^\infty c_n\,.$
[/mm]
Sei $N [mm] \in \IN\,,$ [/mm] dann gilt
1. Fall: Sei [mm] $N=2k\,$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IN_0\,,$ [/mm] also [mm] $N\,$ [/mm] gerade, dann folgt, weil die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty c_n$ [/mm] monoton gegen [mm] $c\,$ [/mm] wächst (und damit insbesondere [mm] $c\,$ [/mm] eine obere Schranke, hier aber sogar der Grenzwert, dieser Reihe ist)
[mm] $$\sum_{n=0}^{2k} d_n=\sum_{n=0}^k a_n [/mm] - [mm] \sum_{n=1}^{k} c_{n} \ge \sum_{n=0}^k a_n -c\,.$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$Beispiel: $N=8\,,$ [/mm] dann ist [mm] $k=4\,$ [/mm] und daher
[mm] $$\sum_{n=0}^N d_n=d_0+d_1+d_2+d_3+d_4+d_5+d_6+d_7+d_8=a_0-c_1+a_1-c_2+a_3-c_3+a_4-c_4=(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4)-(c_1+c_2+c_3+c_4)\,.\text{)}$$
[/mm]
2. Fall: Sei [mm] $N=2k+1\,$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IN_0\,,$ [/mm] also [mm] $N\,$ [/mm] ungerade, dann
[mm] $$\sum_{n=0}^{2k+1} d_n=\sum_{n=0}^k a_n [/mm] - [mm] \sum_{n=1}^{k+1} c_{n} \ge \sum_{n=1}^k a_n -c\,.$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$Beispiel: $N=9\,,$ [/mm] dann ist auch hier [mm] $k=4\,$ [/mm] und daher
[mm] $$\sum_{n=0}^N d_n=d_0+d_1+d_2+d_3+d_4+d_5+d_6+d_7+d_8+d_9=a_0-c_1+a_1-c_2+a_3-c_3+a_4-c_4+a_5-c_5=(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4)-(c_1+c_2+c_3+c_4+c_5)\,.\text{)}$$
[/mm]
Dies zeigt, dass die beiden Teilsummenfolgen
[mm] $$\left(\sum_{n=0}^{2k}d_n\right)_{k \in \IN_0}$$
[/mm]
und
[mm] $$\left(\sum_{n=0}^{2k+1}d_n\right)_{k \in \IN_0}$$
[/mm]
von
[mm] $$\left(\sum_{n=0}^{k}d_n\right)_{k \in \IN_0}=\sum_{n=0}^\infty d_n$$
[/mm]
beide bestimmt gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergieren (da [mm] $\infty \leftarrow N=2k$ auch $k \to \infty$ nach sich ziegt und $\sum a_n$ bestimmt gegen $\infty$ divergiert; analog zieht auch $\infty \leftarrow 2k+1=N$ auch $k \to \infty$ nach sich).
Damit ist dann die Behauptung gezeigt. (Bitte nochmal kurz drüber nachdenken, warum eigentlich!).
Gruß,
Marcel
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:25 So 23.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dachte, dass zu beweisende Angaben wie "Zeigen Sie,
> dass..." immer eine wahre Aussage beinhalten. :D
leider nicht immer. Immer schön skeptisch bleiben. Manchmal hat der Aufgabensteller einfach etwas unterschlagen oder "vergessen" - denn nicht alle Aufgaben wurden ja schonmal gestellt. Ich denke, dass der Aufgabensteller hier anstatt der Forderung
[mm] $$\lim a_n=0$$
[/mm]
ursprünglich stehen hatte:
[mm] "$(a_n)_n$ [/mm] sei monoton fallend gegen [mm] $0\,.$"
[/mm]
Und bei einem kurzen Blick in seinen Beweis hat er vielleicht übersehen, dass die Monotonie hier doch bedeutend ist.
Versuche also mal, die Aufgabe zu beweisen, wenn man
[mm] $$\lim a_n=0$$
[/mm]
ersetzt durch
[mm] "$(a_n)_n$ [/mm] sei eine monoton fallende Nullfolge."
Dann greift auch keines der Gegenbeispiele mehr (auch meines nicht, welches ich in der anderen Antwort stehen habe; ich hatte da noch nicht gesehen, dass vorher schon jemand drauf hingewiesen hatte).
Übrigens ist es auch gut, wenn man merkt, dass eine Aufgabe in der Formulierung eigentlich nicht beweisbar ist, weil man ein Gegenbeispiel angeben kann, mal Ausschau danach zu halten, welche Eigenschaft denn wichtig für das Gegenbeispiel ist. Und wie die Aufgabe umformuliert oder ergänzt werden könnte, so dass das Gegenbeispiel nicht greift, so dass man schlussendlich zu einer vernünftigen Aufgabestellung kommt. Wobei das eigentlich nicht das Problem des Aufgabenbearbeiters sein sollte. Dennoch kann es dem Verständnis dienen...
Gruß,
Marcel
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