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| Aufgabe | Lösen sie folgendes Gleichungssystem im [mm]\IF_{7}[/mm].
[mm]x+y+z=\bar 3[/mm]
[mm]x+\bar 2 y+\bar 3 z=\bar 2[/mm]
[mm]-x+\bar 3 y+\bar 2 z=\bar 1[/mm] |
Hallo Liebes Forum!
Also die Aufgabe an sich bereitet mir keine Probleme mehr. Ich weiß, dass [mm]\bar -1\equiv\bar 6[/mm] ist usw. Aber wenn ich die Gleichungen mit einer Matrix in Zeilenstufenform gebrahct habe steht ganz unten:
[mm]\bar 2 z =\bar 1[/mm]
somit wäre dann ja z=1/2, damit habe ich auch weitergerechnet, aber irgendwann wird es schwierig mod 7 zu rechnen.
Ist modulo nicht sogar nur auf Ganzzahlen anzuwenden? Über eine kleine Hilfe freue ich mich.
Der Vollständigkeit halber hier noch einmal die gesamte erweiterte Matrix in fertiger Zeilenstufenform:
[mm]\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 3\\
0 & 1 & 2 & | & 6\\
0 & 0 & 2 & | & 1
\end{pmatrix}[/mm]
(Natürlich alles Restklassen, aber die Striche habe ich zur besseren Lesbarkeit weggelassen)
Danke im Vorraus, Angelnoir
Edit: Meine Lösungen am Ende sollte ich noch schreiben ;)
[mm]x=\bar 4\bruch{\bar 1}{\bar 2}[/mm]
[mm]y=\bar5[/mm]
[mm]z=\bruch{\bar 1}{\bar 2}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Mi 29.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin schwarzer Engel!
> Lösen sie folgendes Gleichungssystem im [mm]\IF_{7}[/mm].
> [mm]x+y+z=\bar 3[/mm]
> [mm]x+\bar 2 y+\bar 3 z=\bar 2[/mm]
> [mm]-x+\bar 3 y+\bar 2 z=\bar 1[/mm]
>
> Hallo Liebes Forum!
>
> Also die Aufgabe an sich bereitet mir keine Probleme mehr.
> Ich weiß, dass [mm]\bar -1\equiv\bar 6[/mm] ist usw. Aber wenn ich
> die Gleichungen mit einer Matrix in Zeilenstufenform
> gebrahct habe steht ganz unten:
> [mm]\bar 2 z =\bar 1[/mm]
> somit wäre dann ja z=1/2, damit habe
> ich auch weitergerechnet, aber irgendwann wird es schwierig
> mod 7 zu rechnen.
> Ist modulo nicht sogar nur auf Ganzzahlen anzuwenden?
Du rechnest hier im Koerper [mm] $\IF_7$. [/mm] Dort hat [mm] $\bar [/mm] 2$ eine multiplikativ Inverse, d.h. es gibt ein (eindeutig bestimmtes) Element $b [mm] \in \IF_7$ [/mm] mit [mm] $\bar [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] b = [mm] \bar [/mm] 1$. Damit ist $b = [mm] \frac{\bar 1}{\bar 2}$.
[/mm]
Kannst du $b$ finden?
In den ganzen Zahlen ausgedrueckt bedeutet es, dass $b = [mm] \bar [/mm] c$ sein muss mit $2 [mm] \cdot [/mm] c = 1 + x [mm] \cdot [/mm] 7$, wobei $x$ irgendeine ganze Zahl ist. Fuer $x = 1$ kannst du schon so ein $c [mm] \in \IZ$ [/mm] finden.
> Edit: Meine Lösungen am Ende sollte ich noch schreiben ;)
> [mm]x=\bar 4\bruch{\bar 1}{\bar 2}[/mm]
Ist das [mm] $\bar [/mm] 4 + [mm] \bar 2^{-1}$, [/mm] oder ist das [mm] $\bar [/mm] 4 [mm] \cdot \bar 2^{-1}$?
[/mm]
> [mm]y=\bar5[/mm]
> [mm]z=\bruch{\bar 1}{\bar 2}[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Angelnoir |
Aha-Erlebnis!
$ 2 [mm] \cdot [/mm] c = 1 + x [mm] \cdot [/mm] 7 $ daran habe ich überhaupt nicht gedacht! Aber dann komme ich auf [mm] $z=\bar [/mm] 4$ und mein y stimmt, dann auch. Mein x hatte ich auch einmal umgeformt in [mm] $\bruch{9}{2}\equiv\bruch{2}{2}=1$ [/mm] und wenn ich das jetzt einsetze stimmt es sogar.
Vielen lieben Dank Felix
Immer wieder gut die Hilfe hier, habe schon viel dazu gelernt =)
Guten Rutsch wünsche ich noch!
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