Division mit Rest < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Do 15.10.2009 | | Autor: | s3rial_ |
| Aufgabe | Welche Werte kann der Rest der Division einer Quadratzahl durch
i) 3 ii) 5 iii) 11
haben? |
Hallo,
die Zahlentheorie liegt mir nicht so und ich finde sie herlich unlogisch. Zum Beispiel bei der oberen Aufgabe kann man alle Reste Wunderbar mit der Hand ausrechnen. Und ich weiß auch das mir der Prof. damit was sagen wollte, dass ich diese mit der Hand ausgerechnet habe. Ich tippe mal darauf, das es bestimmte Regelmäsigkeiten festzustellen sind, die man aus der Basis erkennen kann, ohne lange zu rechnen, aber ich komme nicht drauf.
Meine Frage, ist also, gibt es sowas wie eine Regelomäsigkeiten bei Zahlen mit einer Potenz, so dass man ohne großen aufwand den Rest ermitteln kann?
Ich habe das mal für weitaus mehr Zahlen gemacht als oben angegeben und ich weiß dass sich dort ein Muster bildet und dass sich die Werte der Reste irgendwann wiederholen, aber ich muss dass jedes mal per hand nachrechnen und kann nicht glauben, dass es nur so geht.
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.
gruß
s3
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> Welche Werte kann der Rest der Division einer Quadratzahl
> durch
> i) 3 ii) 5 iii) 11
Hallo,
zu i)
Überlege Dir, daß man jede nat. Zahl schreiben kann als 3k + r mit [mm] r\in \{0,1,2\}.
[/mm]
Quadriere : [mm] (3k+r)^2=9k^2+6kr +r^2.
[/mm]
Überlege Dir, daß Du für die Fragestellung nur
[mm] 0^2, 1^2, 2^2 [/mm] untersuchen mußt.
Die anderen genauso. Gegenüber der Untersuchung von unendlich vielen nat. Zahlen spart dieses Vorgehen eine Menge Arbeit.
Gruß v. Angela
> haben?
> Hallo,
> die Zahlentheorie liegt mir nicht so und ich finde sie
> herlich unlogisch. Zum Beispiel bei der oberen Aufgabe kann
> man alle Reste Wunderbar mit der Hand ausrechnen. Und ich
> weiß auch das mir der Prof. damit was sagen wollte, dass
> ich diese mit der Hand ausgerechnet habe. Ich tippe mal
> darauf, das es bestimmte Regelmäsigkeiten festzustellen
> sind, die man aus der Basis erkennen kann, ohne lange zu
> rechnen, aber ich komme nicht drauf.
>
> Meine Frage, ist also, gibt es sowas wie eine
> Regelomäsigkeiten bei Zahlen mit einer Potenz, so dass man
> ohne großen aufwand den Rest ermitteln kann?
>
> Ich habe das mal für weitaus mehr Zahlen gemacht als oben
> angegeben und ich weiß dass sich dort ein Muster bildet
> und dass sich die Werte der Reste irgendwann wiederholen,
> aber ich muss dass jedes mal per hand nachrechnen und kann
> nicht glauben, dass es nur so geht.
>
> Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.
> gruß
> s3
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 15.10.2009 | | Autor: | s3rial_ |
> > Welche Werte kann der Rest der Division einer Quadratzahl
> > durch
> > i) 3 ii) 5 iii) 11
>
> Hallo,
>
> zu i)
>
> Überlege Dir, daß man jede nat. Zahl schreiben kann als
> 3k + r mit [mm]r\in \{0,1,2\}.[/mm]
Mit anderen Worten bei einer Modulo 3 Operation ist kann r nur 0,1 oder 2 sein.
> Quadriere : [mm](3k+r)^2=9k^2+6kr +r^2.[/mm]
>
> Überlege Dir, daß Du für die Fragestellung nur
>
> [mm]0^2, 1^2, 2^2[/mm] untersuchen mußt.
Warum muss ich nur die oben genannten Fälle beachten. Wenn ich das nun Richtig verstanden habe, muss ich die oben gennanten Fälle nun untersuchen.
Mein Ansatz wäre, das ich den Term [mm] (3k+r)^2=9k^2+6kr +r^2 [/mm] mit einen Fall gleichsetze und nach r auflöse. Dann müsste ich doch den Rest in abhängigkeit von k ermitteln können oder?
Aber warum muss ich nur die 3 oben gennaten Fälle beachten?
> Die anderen genauso. Gegenüber der Untersuchung von
> unendlich vielen nat. Zahlen spart dieses Vorgehen eine
> Menge Arbeit.
>
> Gruß v. Angela
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> > > Welche Werte kann der Rest der Division einer Quadratzahl
> > > durch
> > > i) 3 ii) 5 iii) 11
> >
> > Hallo,
> >
> > zu i)
> >
> > Überlege Dir, daß man jede nat. Zahl schreiben kann als
> > 3k + r mit [mm]r\in \{0,1,2\}.[/mm]
>
> Mit anderen Worten bei einer Modulo 3 Operation ist kann r
> nur 0,1 oder 2 sein.
>
> > Quadriere : [mm](3k+r)^2=9k^2+6kr +r^2.[/mm]
> >
> > Überlege Dir, daß Du für die Fragestellung nur
> >
> > [mm]0^2, 1^2, 2^2[/mm] untersuchen mußt.
>
> Warum muss ich nur die oben genannten Fälle beachten. Wenn
> ich das nun Richtig verstanden habe, muss ich die oben
> gennanten Fälle nun untersuchen.
> Mein Ansatz wäre, das ich den Term [mm](3k+r)^2=9k^2+6kr +r^2[/mm]
> mit einen Fall gleichsetze und nach r auflöse. Dann
> müsste ich doch den Rest in abhängigkeit von k ermitteln
> können oder?
> Aber warum muss ich nur die 3 oben gennaten Fälle
> beachten?
Hallo,
jede natürliche Zahl hat eine der Darstellungen 3k+0, 3k+1, 3k+2, denn sie kann ja bei Division durch 3 nur den Rest 0, 1, 2 haben.
Wenn ich 3k+r quadriere, bekomme ich [mm] (3k+r)^2=9k^2+6kr +r^2.
[/mm]
Wenn ich mich nun für den rest bei Division durch 3 interessiere, entspricht dies der Frage: welchen Rest läßt [mm] r^2 [/mm] bei Division durch 3. (Warum reicht es, über [mm] r^2 [/mm] nachzudenken?)
Wie oben erwähnt ist [mm] r^2 =0^2 [/mm] oder [mm] r^2=1^2 [/mm] oder [mm] r^2=2^2, [/mm] und diese Reste sind nun mod 3 zu untersuchen.
Gruß v. Angela
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