Doppelintegral - Grenzen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:06 Mi 17.06.2009 | | Autor: | DannyG |
| Aufgabe | Berechnen Sie (am besten mittels geeigneter Substitution) das Doppelintegral der Funktion f(x,y)=2y [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm]
über die Menge D={(x,y): [mm] 0\le x\le [/mm] y [mm] \wedge x^2+y^2\le \wurzel{2x}+\wurzel{x^2+y^2} [/mm] } |
Ich habe diese Frage am 16.06.2009 um 17:42 auf http://www.matheplanet.com/ gestellt.
Riecht mMn nach Polarkoordinaten x=r [mm] cos(\phi) [/mm] y=r [mm] sin(\phi)
[/mm]
Also habe ich mal so begonnen:
[mm] 0\lex=r cos(\phi)\ley=r sin(\phi) [/mm]
[mm] 0\lex=cos(\phi)\ley=sin(\phi)
[/mm]
[mm] \phi [/mm] muss also größer Null sein und in dem Bereich wo der Kosinus kleiner als der Sinus ist, also:
[mm] \bruch{\pi}{4}\le\phi\le\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Nun die zweite Grenze, bei der ich nicht mehr weiter weiß:
[mm] x^2+y^2\le\wurzel{2x}+\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] r^2(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))\le\wurzel{2r cos(\phi)}+\wurzel{r^2(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))}
[/mm]
[mm] r^2\le\wurzel{2r cos(\phi)}+\wurzel{r^2}
[/mm]
[mm] r^2\le\wurzel{2r cos(\phi)}+r
[/mm]
Wie komme ich nun auf die Grenze für r... und ist mein Phi-Ansatz überhaupt richtig?
Danke,
Daniel.
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> Berechnen Sie (am besten mittels geeigneter Substitution)
> das Doppelintegral der Funktion f(x,y)=2y [mm]\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> über die Menge [mm] D=\{(x,y):0\le x\le y \wedge x^2+y^2\le \wurzel{2x}+\wurzel{x^2+y^2}\}
[/mm]
> Riecht mMn nach Polarkoordinaten [mm] x=r*cos(\phi) y=r*sin(\phi)
[/mm]
>
> Also habe ich mal so begonnen:
> [mm]0\le x=r cos(\phi)\le y=r sin(\phi)[/mm]
> [mm]0\le x=cos(\phi)\le y=sin(\phi)[/mm]
>
> [mm]\phi[/mm] muss also größer Null sein und in dem Bereich wo der
> Kosinus kleiner als der Sinus ist, also:
> [mm]\bruch{\pi}{4}\le\phi\le\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Nun die zweite Grenze, bei der ich nicht mehr weiter weiß:
> [mm]x^2+y^2\le\wurzel{2x}+\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
> [mm]r^2(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))\le\wurzel{2r cos(\phi)}+\wurzel{r^2(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))}[/mm]
>
> [mm]r^2\le\wurzel{2r cos(\phi)}+\wurzel{r^2}[/mm]
> [mm]r^2\le\wurzel{2r cos(\phi)}+r[/mm]
>
> Wie komme ich nun auf die Grenze für r... und ist mein
> Phi-Ansatz überhaupt richtig?
>
> Danke,
> Daniel.
Frage:
Ist die Definition der Menge D wirklich richtig angegeben ??
Müsste sie nicht vielleicht so lauten:
[mm] D=\{(x,y):0\le x\le y \wedge x^2+y^2\le \blue{\wurzel{2}*x}+\wurzel{x^2+y^2}\}
[/mm]
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Mi 17.06.2009 | | Autor: | DannyG |
Faszinierend, dass man Aufgabenstellung ins Internet klopft, stundenlang herumrechnet... und dann ist es so trivial.
Die Klausur wurde nur mit einem Handy fotografiert und daher etwas unscharf, aber ich habe jetzt noch einmal ganz genau hingesehen und du hast recht.
Werd mir die Rechnung jetzt noch mal anschauen... mein Ansatz für [mm] \phi [/mm] war aber in Ordnung?
lg,
Daniel.
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> Faszinierend, dass man Aufgabenstellung ins Internet
> klopft, stundenlang herumrechnet... und dann ist es so
> trivial.
> Die Klausur wurde nur mit einem Handy fotografiert und
> daher etwas unscharf, aber ich habe jetzt noch einmal ganz
> genau hingesehen und du hast recht.
 hellseherische Fähigkeiten kann man eben immer
wieder sehr nutzbringend einsetzen ...
> Werd mir die Rechnung jetzt noch mal anschauen... mein
> Ansatz für [mm]\phi[/mm] war aber in Ordnung?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mi 17.06.2009 | | Autor: | DannyG |
zuerst @angela - ich hatte in meinem ersten Posting doch auf den Crossover hingewiesen... wie hättest Du das denn genau haben wollen?
zum Beispiel:
Grenze [mm] \phi [/mm] hatten wir ja schon:
[mm] 0\le [/mm] r [mm] cos(\phi)\le [/mm] r [mm] sin(\phi) [/mm]
[mm] 0\le cos(\phi)\le sin(\phi)
[/mm]
[mm] \bruch{\pi}{4}\le\phi\le\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Grenze r:
[mm] x^2+y^2\le\wurzel{2}x+\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] r^2(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))\le\wurzel{2}r cos(\phi)+\wurzel{r^2(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))}
[/mm]
[mm] r^2\le\wurzel{2}r cos(\phi)+\wurzel{r^2}
[/mm]
[mm] r^2\le\wurzel{2}r cos(\phi)+r
[/mm]
[mm] r^2\le r(\wurzel{2} cos(\phi)+1)
[/mm]
[mm] r\le\wurzel{2} cos(\phi)+1
[/mm]
[mm] \phi [/mm] wird über die erste Grenze von [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] und [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] begrenzt, also
[mm] \wurzel{2} cos(\bruch{\pi}{2})+1\le [/mm] r [mm] \le\wurzel{2} cos(\bruch{\pi}{4})+1
[/mm]
[mm] 1\le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2
Integral:
[mm] \integral_{D}^{}{f(x,y) dxdy}
[/mm]
[mm] \integral_{D}^{}{2y\wurzel{x^2+y^2} dxdy}
[/mm]
[mm] 2\integral_{1}^{2}{\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{r sin(\phi) \wurzel{r^2}r d\phi} dr}
[/mm]
[mm] 2\integral_{1}^{2}{\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{r^3 sin(\phi) d\phi} dr}
[/mm]
[mm] 2\integral_{1}^{2}{-r^3 cos(\phi) dr} [/mm] (Grenzen einsetzen)
[mm] -2\integral_{1}^{2}{-r^3 cos(\bruch{\pi}{4}) dr}
[/mm]
2 [mm] cos(\bruch{\pi}{4}) \bruch{r^4}{4} [/mm] (Grenzen einsetzen)
[mm] cos(\bruch{\pi}{4}) [\bruch{2^4}{2}-\bruch{1}{2}] [/mm] = 5,303
Wie sieht das für Dich aus @Al?
Danke,
Daniel.
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> zuerst @angela - ich hatte in meinem ersten Posting doch
> auf den Crossover hingewiesen... wie hättest Du das denn
> genau haben wollen?
Hallo,
genauso, wie Du es getan hast:
ich habe es schlichtweg übersehen, obgleich ich dreimal nachgschaut habe.
Entschuldige bitte, Du hast alles richtig gemacht, und ich nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Mi 17.06.2009 | | Autor: | DannyG |
da die Frage schon reserviert ist kann ich nicht mehr editieren, daher diese Mitteilung:
hab schon weider nen Fehler gemacht... da r ja kleiner [mm] \wurzel{2} cos(\phi)+1 [/mm] sein muss.
D.h. nicht das Maximum des Terms ist interessant, sondern das Minimum und das hätten wir bei [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] wo der Kosinus null wird, und [mm] \wurzel{2} cos(\phi)+1 [/mm] = 1 ist.
Die Grenzen für r wären also 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1.
Dann wäre mMn alles erfüllt, wenn ich mich nicht schon wieder vertan habe ;)
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Hallo Daniel,
> > > [mm]\wurzel{2} cos(\bruch{\pi}{2})+1\le[/mm] r [mm]\le\wurzel{2} cos(\bruch{\pi}{4})+1[/mm]
> > ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> > >
> > > [mm]1\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 2 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> >
> > Die Grenzen für r sind nicht konstant, sondern
> > von [mm]\phi[/mm] abhängig ! Für einen vorgegebenen [mm]\phi-Wert[/mm]
> > (mit [mm]\pi/4\le\phi\le\pi/2)[/mm] läuft r von 0 bis
> > [mm]1+\wurzel{2}*cos(\phi)[/mm]
> >
> > Deshalb muss die innere Integration im Doppel-
> > integral über r, die äussere über [mm]\phi[/mm] gehen
> > (umgekehrt würde es etwas kompliziert...)
>
> Das r von [mm]\phi[/mm] abhängig ist habe ich mir ja auch gedacht...
> ich habe die Rechnung jetzt auch mal angefangen so zu
> lösen, aber da kommt ja wirklich ein "Horrorintegral" raus
> wo
> [mm]2\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{(1+\wurzel{2}*cos(\phi))^4}{4} sin(\phi) d\phi}[/mm]
> gelöst werden soll...
Hey super ! Dann ist es ja gar nicht so schlimm,
denn ich habe vorher den Faktor [mm] sin(\phi) [/mm] vergessen.
Wenn der aber noch da ist, klappt es mit der
Substitution
[mm] u:=1+\wurzel{2}*cos(\phi)
[/mm]
doch prima.
> Für eine 90-Min. Klausur und vier weitere Aufgaben,
> erscheint mir das etwas wild ;)
Naja, die Einschätzung, was man in einem bestimmten
vorgegebenen Zeitrahmen fordern kann, ist sehr oft
eine schwierige. Auch ich war schon oft froh, wenn ich
meinen Klassen zusätzliche Zeit zum Lösen geben
konnte, weil sie nicht gerade zur nächsten Französisch-
oder Geographielektion rasen mussten ...
(Es kam aber auch mal vor, dass die Aufgaben zu leicht
waren und in der halben Zeit gelöst werden konnten)
> Was ich nicht verstehe, wir haben ja:
> 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le\wurzel{2} cos(\phi)+1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, genau. Rechne doch mal durch, was dies z.B.
im Fall [mm] \phi=\pi/3 [/mm] genau bedeutet !
>
> Wir wissen doch, dass [mm]\phi[/mm] mit [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] bzw.
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] begrenzt ist. Man müsste diese doch für [mm]\phi[/mm]
> einsetzen dürfen, und r wäre durch
> 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le\wurzel{2} cos(\bruch{\pi}{4})+1[/mm]
> 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 2
> begrenzt.
Die Obergrenzen für den Radius [mm] r(\phi) [/mm] liegen tatsächlich
im Intervall [1,2]. Aber die Untergrenze für r ist
für jeden Winkel [mm] \phi [/mm] gleich Null.
>
> Warum sollte man das nicht dürfen? [mm]\phi[/mm] ist ja wie gesagt
> begrenzt, größer als an der Stelle [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] wird der
> Kosinus definitiv nicht in D. Und 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le\wurzel{2} cos(\phi)+1[/mm]
> würde ja trotzdem erfüllt werden.
>
> lg,
> Daniel.
Gruß Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mi 17.06.2009 | | Autor: | DannyG |
stimmt... und die Substitution habe ich leider übersehen, so ergibt das:
[mm] 2\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{(1+\wurzel{2}\cdot{}cos(\phi))^4}{4} sin(\phi) d\phi} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+\wurzel{2}\cdot{}cos(\phi))^4 sin(\phi) d\phi} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{u^4 sin(\phi) \bruch{du}{-\wurzel{2}sin(\phi)}} [/mm] =
[mm] -\bruch{1}{\wurzel{8}}\integral_{\bruch{\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{2}}{u^4 du} [/mm] =
[mm] -\bruch{1}{\wurzel{8}}(\bruch{(1+\wurzel{2}cos(\phi))^5}{5}) [/mm] = (Grenzen einsetzen)
[mm] (-\wurzel{1}{\wurzel{8}})(\bruch{1}{5}-\bruch{32}{5}) [/mm] = 2,192
Jetzt sollte es stimmen, vielleicht wirfst Du nochmal kurz nen Blick drauf... und ich sage schon mal Danke.
lg,
Daniel.
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Sofern vorher nicht irgendein blöder Fehler passiert
ist, sollte dies stimmen.
LG Al-Chw.
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