Doppelintegrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:58 Mi 15.08.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe 1 | a) Skizzieren Sie die Funktionen [mm] f_{(x)}=2-|x| [/mm] und [mm] g_{(x)}=|x| [/mm] für x [mm] \in [/mm] [-2,2] in einem gemeinsamen Koordinatensystem.
b) Schraffieren Sie die Menge G der Punkte (x,y) in der Skizze a), für die gilt |x| [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 2-|x|
c) Berechnen Sie [mm] \integral_{G}^{}{x^{2}*e^{y} dG}
[/mm]
MUSTERLÖSUNG: [mm] 4e^{2}-12e+4 [/mm] |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie [mm] \integral_{G}^{}{f dG}, [/mm] wobei [mm] f_{(x,y)}=x^{2}+x*y [/mm] und G das Dreieck mit den Eckpunkten (-1,-1), (1,1) und (0,1) ist.
MUSTERLÖSUNG: [mm] \bruch{1}{3} [/mm] |
Hi,
ich bin wieder Mal am verzweifeln. Ich rechne jetzt schon stundenlang an den beiden Aufgaben aber komm einfach nicht auf das richtige Ergebnis...
Zu Aufgabe 1:
a) und b) sind glaub ich nicht so problematisch. Die beiden Graphen teilen die ersten beiden Quadranten in jeweils 4 Dreiecke.
Die gesuchte Fläche dürfte dann das linke Dreieck im 1. Quadranten sein und das rechte im 2. Quadranten.
So, dann:
[mm] 2*\integral_{0}^{1}\integral_{x}^{2-x}{x^{2}*e^{y} dydx}
[/mm]
Hier meine erste Frage: Darf ich ein Doppelintegral überhaut aus Symmetriegründen mit 2 multiplizieren, oder funktioniert das nur bei einfachen Integralen??
Hab das dann nach y integriert und die Funktionen eingesetzt:
[mm] \integral_{0}^{1}{x^{2}e^{2-x}-x^{2}e^{x} dx}
[/mm]
Beide Terme dann 2 mal Partiell integrieren ergibt:
[mm] [-x^{2}e^{2-x}-2xe^{2-x}+2e^{2-x}-x^{2}e^{x}-2xe^{2}+2e^{x}]
[/mm]
In die Gleichung 1 und 0 eingesetzt ergibt:
[mm] -2e^{2}+2e+2
[/mm]
Hab jetzt wirklich schon etliche Varianten durchgerechnet, habs auch mit anderen Flächen versucht... Will nicht hinhauen.
zu Aufgabe 2:
Bei Aufgabe 2 hab ich ähnliche Probleme.
Da das Dreieck teils über und teils unter der x-Achse Liegt hab ich hier wieder zwei einzelne Integrale und die dann addiert. Hab bei diesem Fall auch an die Vertauschung von dx und dy gedacht. D.h. Die beiden Funktionen die das Dreieck bilden in Abhängigkeit von y usw. Ich bekomme aber einfach nicht das richtige Ergebnis raus!! Verdammt!!
Es wäre super wenn mir jemand mit diesen beiden Aufgaben Helfen könnte. Vielen Dank schon Mal im Voraus!!!
LG
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Stefan,
zunächst mal zu Deinen allgemeinen Fragen. Der Integrand ist gerade, es kommen in Deinem Gebiet nur positive y-Werte vor, also kann man die Vereinfachung durchführen, indem man nur über, wie in Deinem Fall, die positive x-Achse integriert. Die Beschreibung der Integrale ist auch richtig, dann hast Du Dich aber irgendwo verhauen, ich kann nicht genau nachvollziehen, wo. Deswegen schreibe ich hier mal den weiteren Rechenweg auf:
$$ [mm] \integral_{0}^{1}{x^{2}e^{2-x}-x^{2}e^{x} dx} [/mm] =
[mm] e^2 \cdot e^{-x} \cdot \left[ -x^2 - 2x -2 \right] [/mm] - [mm] e^x \left[x^2-2x+2] \right] |_0^1 [/mm] $$
und nun kann man furchtbar leicht mit den Vorzeichen durcheinander kommen, wenn man nicht aufpasst. Ich gebe zu, auch ich habe erst ein Minuszeichen verschlampt beim Einsetzen der unteren Grenze. Was dabei herauskommt, ist auf jeden Fall
$$ - 6 e + 2 [mm] e^2 [/mm] + 2 $$ und das verdoppelt gibt Deine Musterlösung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Stefan,
in der zweiten Aufgabe musst Du wirklich das Gebietsintegral in zwei Teile aufteilen.
Für - 1 < x < 0 integrierst Du zwischen y = x und y = 1+2x, für 0 < x < 1 integrierst Du zwischen y = x und y =2.
Viel Spaß dabei wünscht
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mi 15.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Hi,
danke für die Antwort. Aufgabe 1 hab ich jetzt endlich. Bei Aufgabe 2 häng ich noch.
Versteh nicht wie die Integrationsgrenzen zustandekommen:
"Für - 1 < x < 0 integrierst Du zwischen y = x und y = 1+2x, für 0 < x < 1 integrierst Du zwischen y = x und y =2."
Kann mir damit noch jemand Helfen??
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Zeichne Dir das Gebiet $G_$ mit den genannten 3 Punkten mal in ein Koordinatenkreuz. Da erhältst Du ein Dreieck.
Und im Intervall $-1 \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ 0$ wird dieses Dreieck exakt durch die beiden Geraden [mm] $y_1 [/mm] \ = \ 2x+1$ sowie [mm] $y_2 [/mm] \ = \ x$ begrenzt.
Der Bereich des Dreieckes $0 \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ +1$ wird nun begrenzt durch diese beiden Geraden: [mm] $y_1 [/mm] \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] (hier hat sich Infinit wohl vertippt) sowie [mm] $y_2 [/mm] \ = \ x$ .
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 15.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Ok danke erstmal. Werd das gleich mal probieren.
Mir ist aber noch nicht klar warum man im Bereich -1 < x < 0 einfach integrieren kann, weil sich das Dreieck ja teilweise über und unter der x-Achse befindet. Müsste man das nicht nochmal aufteilen? Oder versteh ich da was komplett falsch??
Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Do 16.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja du verstehst da was komplet falsch: Du willst ja nicht wie auf der Schule eine Fläche ausrechne, die über und unter der x-Achse verschiedene Vorzeichen hat, sondern über die Werte von f(x,y) in dem Gebiet summieren. Wenn du f(x,y) als Höhen über den Punkten (x,y) ansiehst - und so stellt man sich das am besten vor, dann berechnest du den Rauminhalt des Gebirges, wobei allerdings Teile unterhalb 0 (also f(x,y)<0) negativen Rauminhalt geben.
dass du unterteilen musst, liegt daran, dass du ja das Dreieck nicht anders in Streifen parallel zur y-Achse zerlegen kannst.
wenn du es andersrum machst musst du nicht unterteilen sondern y von -1 bis +1 und dafür von x=0,5y-0,5 bis x=y integrieren. dann hast du in Streifen parallel zur x -Achse geteilt.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Do 16.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Ahh, super danke. Bin jetzt auch auf das richtige Ergebnis gekommen.
Aber eine (hoffentlich) letzte Frage:
Wenn ich mit einem Doppelintegral den "Rauminhlat eines Gebirges" ausrechne, dann darf ich doch nicht, wie in Aufgabe eins, aus Symmetriegründen der Grundläche das Ergebnis mit 2 multiplizieren, oder? Das "Gebirge" kann ja im 1. Quadranten anders aussehen als im 2. Quadranten aber dennoch die gleiche (symmetrische) Grundfläche haben. War das dann Zufall das das bei Aufgabe eins Funktioniert hat, oder ist meine Vorstellung von der ganzen Sache falsch???
Danke nochmal für die guten Antworten!!!!
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Do 16.08.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
man darf aufteilen, wenn das Gebirge (also die Funktion) symmetrienen aufweist, aber natürlich nicht, wenn das bloß für die Grundfläche gilt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Do 16.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Ja, alles klar Danke
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