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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 So 02.05.2010 | | Autor: | oli_k |
Hallo zusammen,
mal einige Verständnisfragen zu Doppelintegralen.
Als erstes Beispiel mal
[mm] \integral_{0}^{20}\integral_{0}^{\pi/2}{r^2 sin^{2}(\phi) dr d\phi r}
[/mm]
Hier kann ich ja anscheinend wild umhertauschen wie ich möchte und das ganze Teil sogar als
[mm] \integral_{0}^{20}{r^3 dr}*\integral_{0}^{\pi/2}{sin^{2}(\phi) d\phi}
[/mm]
schreiben, sprich, das Doppelintegral einfach als zwei multiplizierte einzelne Integrale schreiben. Dementsprechend ist die Reihenfolge inneres/äußeres Integral im Ausgangsintegral völlig egal.
Jetzt nehmen wir einfach mal die Fläche einer Sinuskurve von 0 bis [mm] \pi/2, [/mm] und zwar als Doppelintegral. Die richtige Lösung ist ja selbst mit Schulwissen offensichtlich, aber wenn ich nun
[mm] \integral_{0}^{sin(x)}\integral_{0}^{\pi/2}{dx dy}
[/mm]
nehme und nach x und y sortiere, führt dies offensichtlich ins Leere:
[mm] \integral_{0}^{sin(x)}{dy}*\integral_{0}^{\pi/2}{dx}
[/mm]
ergibt das umhüllende Quadrat. Ich muss hier also verschachteln und die Lösung von [mm] \integral_{0}^{sin(x)}{dy} [/mm] nochmal durch das Integral über x ziehen!
Nun die Frage - was für Rechenregeln gibt es dort genau bzw. wie sehe ich, ob ich die Integrale einfach miteinander multiplizieren kann oder ob ich die Lösung des einen Integrals wieder in das andere reinhauen muss?
Kann ich pauschal sagen, dass sobald das y-Integral von x abhängige Grenzen, dieses INNERHALB des x-Integrals stehen muss und umgekehrt?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 So 02.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo [mm] oli_k!
[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{20}\integral_{0}^{\pi/2}{r^2 sin^{2}(\phi) dr d\phi r}[/mm]
Das soll so stimmen mit den beiden (oder sind es doch drei) Differentialen?
Bitte mal überprüfen und ggf. korrigieren.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 So 02.05.2010 | | Autor: | oli_k |
Hallo Loddar,
worauf willst du denn genau hinaus? Das stimmt so...
Wenn du das r am Ende meinst - das ist einfach nur noch nicht sortiert, das rührt daher, dass [mm] dA=dr*d\phi*r [/mm] ist (Flächeninhalt Kreisbogen).
Es geht also wirklich nur um zwei Integrale nach r bzw. [mm] \phi.
[/mm]
Meintest du das oder verstehe ich deine Anmerkung nicht? 
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 So 02.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn die Grenzen fest sind (also zahlen)und die Funktionen als produkte von fkt darstellbar, ist es egal, wie du das machst.
Wenn aber f(x,y) etwa sin(x*y) wäre kannst du ja nicht so trennen.
Dein Integral
$ [mm] \integral_{0}^{sin(x)}\integral_{0}^{\pi/2}{dx dy} [/mm] $
würde wohl niemand vernünftigerweise so schreiben , sondern
$ [mm] \integral_{0}^{\pi/2}\integral_{0}^{sin(x)}{dy dx} [/mm] $
dann ist auch die Reihenfolge klar.
es handelt sich dabei ja um ein Integral über ne Flächr, du kannst wenn der Rand der fläche gegeben ist, das Integral dir so vorstellen, dass du die Fläche in Streifen zerlegst (in x oder in y Richtung) dann füber einen Streifen aufsummierst (integr) und dann die Streifen aufsummierst.
mit der richtigen Vorstellung kannst du nichts falsch machen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Sa 15.05.2010 | | Autor: | oli_k |
Etwas verspätet, aber vielen Dank für die Erklärung!
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