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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Fr 01.07.2005 | | Autor: | mac_imp |
Hi Leute wir behandeln zurzeit Doppelintegrale,
Die Aufgabe ist:
Das Gebiet [mm] D\subset \IR² [/mm] sei berandet von y=x, xy=1, y=2
Berechnen sie den Flächeninhalt A von D durch das Doppelintegral
A= [mm] \integral \integral [/mm] dx dy
in den Übungen hatten wir aber immer die form [mm] \integral \integral [/mm] f(x,y)dx dy
und dann eine Funktion gegeben. Kann man ein integral bilden ohne eine Funktion zu haben? Oder welche Funktion sollte man hier verwenden? Und wie komme ich auf die?
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Fr 01.07.2005 | | Autor: | libero |
Hallo.
Natürlich hast du auch hier eine Funktion, sie lautet [mm]f(x,y) = 1[/mm], deswegen taucht sie nicht noch einmal explizit auf. In dieser Aufgabe geht es darum, geschickt die Integrationsgrenzen auszuwählen. Mir kommen allerdings deine Angaben y=x, xy=1, y=2 etwas komisch vor.
Ich kann es dir aber am Beispiel eines Dreiecks erklären. Stell dir vor, du sollst den Flächeninhalt eines Dreiecks zwischen den Punkten (0,0), (1,0), (0,1) berechnen.
Wir müssen über beide Achsen (x und y) integrieren, aber beachten, wie der Iintegrationsbereich aussieht. Wenn wir festlegen, dass wir auf der X-Achse von 0 bis 1 integrieren, müssen wir die Werte für die Y-Achse anpassen.
Stell dir vor, du gehst entlang der X-Achse von 0 bis 1. Du siehst, dass sich der "obere" Rand des Dreiecks der X-Achse annähert, bis er (im Punkt (1,0)) auf die X-Achse trifft. Wenn wir das in Abhängigkeit von x darstellen, ist der Verlauf für die Y-Achse also y = 1-x.
D.h. unser Doppelintegral sieht so aus:
[mm]\integral_{0}^{1}{dx} \integral_{0}^{1-x}{dy}[/mm]
Wenn wir nun zuerst das innere (hintere) Integral berechnen, steht dort:
[mm]\integral_{0}^{1}{ 1-x dx} = (x - \bruch{1}{2}x^2)_0^1 = \bruch{1}{2}[/mm]
Natürlich hätte man hier den Flächeninhalt auch leichter aurechnen können, aber ich wollte dir nur die Vorgehensweise verdeutlichen...
Gruß,
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Fr 01.07.2005 | | Autor: | mac_imp |
Hey danke an die Eins dachte ich gar nicht
Ich hab das jetzt ma durch gerechnet und ich hoffe ich hab das jetzt richtig verstanden.
[mm] \integral_{1}^{2} \integral_{1/y}^{y} [/mm] dx dy
[mm] \integral_{1/y}^{y} [/mm] {1*dx} = y-1/y
[mm] \integral_{1}^{2}{y-(1/y) dy}=2-Ln(2)-1/2
[/mm]
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