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Guten Abend Matheraum...
Leider habe ich ein kleines Verständnisproblem mit folgender Aufgabe:
Es sei [mm] B=\left\{ (x,y)^T \in \IR^2 | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 \right\} [/mm] und f:B [mm] \to \IR, \vektor{x \\ y} \to xy^2.
[/mm]
Berechnet werden soll nun [mm] \integral \integral_B [/mm] f(x,y) dxdx indem ich zwei Folgen [mm] f_k [/mm] und [mm] g_k [/mm] von Treppenfunktionen konstruieren soll, so dass für [mm] \vektor{x \\ y} \in [/mm] B gilt:
[mm] f_k(x,y) \le [/mm] f(x,y) [mm] \le g_k(x,y) [/mm] und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral \integral_B f_k(x,y) dxdy=\limes_{k\rightarrow\infty} \integral \integral_B g_k(x,y) [/mm] dxdy...
Soweit so gut... Hier zunächst einmal eine Skizze, wie ich mir das ganze vorzustellen habe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es ergibt sich somit z.B:
[mm] B=\left\{ (x,y)^T \in \IR^2 | x_i \le x \le x_{i+1}, y_j \le y \le y_{j+1} \right\}
[/mm]
Und ich definiere [mm] f_k(x,y)=x_i y_j^2 [/mm] und [mm] g_k(x,y)=x_{i+1}y_{j+1}^2
[/mm]
Und ich schreibe nun:
[mm] \integral \integral_B f_k(x,y) [/mm] dx [mm] dy=\bruch{1}{k}\bruch{1}{k}f_k(x,y)=\bruch{1}{k^2}\bruch{i}{k}\bruch{j^2}{k^2}=\bruch{ij^2}{k^5}
[/mm]
Und nun verließen sie mich leider... Wie kann ich das ganze oder besser: Muss ich das ganze fortführen???
mfg dodo4ever
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo dodo4ever,
> Guten Abend Matheraum...
>
> Leider habe ich ein kleines Verständnisproblem mit
> folgender Aufgabe:
>
> Es sei [mm]B=\left\{ (x,y)^T \in \IR^2 | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 \right\}[/mm]
> und f:B [mm]\to \IR, \vektor{x \\ y} \to xy^2.[/mm]
>
> Berechnet werden soll nun [mm]\integral \integral_B[/mm] f(x,y) dxdx
> indem ich zwei Folgen [mm]f_k[/mm] und [mm]g_k[/mm] von Treppenfunktionen
> konstruieren soll, so dass für [mm]\vektor{x \\ y} \in[/mm] B
> gilt:
>
> [mm]f_k(x,y) \le[/mm] f(x,y) [mm]\le g_k(x,y)[/mm] und
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \integral \integral_B f_k(x,y) dxdy=\limes_{k\rightarrow\infty} \integral \integral_B g_k(x,y)[/mm]
> dxdy...
>
> Soweit so gut... Hier zunächst einmal eine Skizze, wie ich
> mir das ganze vorzustellen habe:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Es ergibt sich somit z.B:
>
> [mm]B=\left\{ (x,y)^T \in \IR^2 | x_i \le x \le x_{i+1}, y_j \le y \le y_{j+1} \right\}[/mm]
>
> Und ich definiere [mm]f_k(x,y)=x_i y_j^2[/mm] und
> [mm]g_k(x,y)=x_{i+1}y_{j+1}^2[/mm]
>
> Und ich schreibe nun:
>
> [mm]\integral \integral_B f_k(x,y)[/mm] dx
> [mm]dy=\bruch{1}{k}\bruch{1}{k}f_k(x,y)=\bruch{1}{k^2}\bruch{i}{k}\bruch{j^2}{k^2}=\bruch{ij^2}{k^5}[/mm]
>
Es ist doch:
[mm]\integral \integral_B f_k(x,y) \ dx \ dy=\integral \integral_B \bruch{1}{k}\bruch{1}{k}f_k(x,y) \ di \ dj =\integral \integral_B \bruch{1}{k^2}\bruch{i}{k}\bruch{j^2}{k^{2}} \ di \ dj[/mm]
> Und nun verließen sie mich leider... Wie kann ich das
> ganze oder besser: Muss ich das ganze fortführen???
>
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower und danke für deine Hilfe...
Doppelintegrale sind leider etwas neu für mich und deshalb tu ich mich grad ein wenig schwer...
Du sagst, es ist:
[mm] \integral \integral_B f_k(x,y) [/mm] dx [mm] dy=\integral \integral_B \bruch{1}{k}\bruch{1}{k}f_k(x,y) [/mm] di dj [mm] =\integral \integral_B \bruch{1}{k^2}\bruch{i}{k}\bruch{j^2}{k^{2}} [/mm] di dj= [mm] \integral \integral_B \bruch{i \cdot j^2}{k^5} [/mm] di dj
Ein Kommolitone hat mir nun allerdings geraten, dass ganze über Summen zu berechnen. Leider keine Ahnung wie ich das ganze angehen soll...
Hier sein vorschlag:
[mm] \integral \integral_B \bruch{i \cdot j^2}{k^5} [/mm] di dj= [mm] \bruch{1}{k^5} \summe_{i=0}^{k-1}\summe_{j=0}^{k-1} [/mm] i [mm] \cdot j^2
[/mm]
Leider habe ich nun allerdings keine Ahnung, wie ich die Summen auflösen kann, um das ganze etwas anschaulicher zu machen.
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo Mathepower und danke für deine Hilfe...
>
> Doppelintegrale sind leider etwas neu für mich und deshalb
> tu ich mich grad ein wenig schwer...
>
> Du sagst, es ist:
>
> [mm]\integral \integral_B f_k(x,y)[/mm] dx [mm]dy=\integral \integral_B \bruch{1}{k}\bruch{1}{k}f_k(x,y)[/mm]
> di dj [mm]=\integral \integral_B \bruch{1}{k^2}\bruch{i}{k}\bruch{j^2}{k^{2}}[/mm]
> di dj= [mm]\integral \integral_B \bruch{i \cdot j^2}{k^5}[/mm] di
> dj
>
> Ein Kommolitone hat mir nun allerdings geraten, dass ganze
> über Summen zu berechnen. Leider keine Ahnung wie ich das
> ganze angehen soll...
>
> Hier sein vorschlag:
>
> [mm]\integral \integral_B \bruch{i \cdot j^2}{k^5}[/mm] di dj=
> [mm]\bruch{1}{k^5} \summe_{i=0}^{k-1}\summe_{j=0}^{k-1}[/mm] i [mm]\cdot j^2[/mm]
>
> Leider habe ich nun allerdings keine Ahnung, wie ich die
> Summen auflösen kann, um das ganze etwas anschaulicher zu
> machen.
>
[mm]\bruch{1}{k^5} \summe_{i=0}^{k-1}\summe_{j=0}^{k-1}[/mm] i [mm]\cdot j^2[/mm]
Da i und j voneinander unabhängig sind,
kannst Du diese Summe aufspalten:
[mm]\bruch{1}{k^5} \summe_{i=0}^{k-1}\summe_{j=0}^{k-1}i j^2=\bruch{1}{k^5} \left( \ \summe_{i=0}^{k-1}i \ \right) \left( \ \summe_{j=0}^{k-1} j^2) \right)[/mm]
Für die in Klammern stehenden Summen gibt es wiederum Formeln.
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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Ah cool...
Es ist nun:
[mm] \bruch{1}{k^5} \summe_{i=0}^{k-1}\summe_{j=0}^{k-1}i j^2=\bruch{1}{k^5} \left( \ \summe_{i=0}^{k-1}i \ \right) \left( \ \summe_{j=0}^{k-1} j^2) \right)
[/mm]
Es gilt allgemein für [mm] \summe_{i=0}^{n}k=\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] und somit gilt für [mm] \summe_{i=0}^{k-1}i=\bruch{(k-1)k}{2}
[/mm]
Es gilt allgemein für [mm] \summe_{i=0}^{n}k^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] und somit gilt für [mm] \summe_{j=0}^{k-1} j^2=\bruch{k(k-1)(2k-1)}{6}
[/mm]
Wodurch sich insgesamt folgendes ergibt:
[mm] \bruch{1}{k^5} \cdot \bruch{(k-1)k}{2} \cdot \bruch{k(k-1)(2k-1)}{6}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{k^5} \cdot \bruch{k^2(k-1^2)(2k-1)}{12}=\bruch{k^2(k-1)(2k-1)}{12 k^5}=\bruch{k^2(2k^2-3k+1)}{12k^5}=\bruch{2k^4-3k^3+k^2}{12k^5}
[/mm]
Und weiter sollte es doch jetzt eigentlich nur noch [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] bilden oder ??? Und der dürfte doch eigentlich 0 sein oder ???
Aber was hat das ganze jetzt mkit Doppelintegralen zu tun ???
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Ah cool...
>
> Es ist nun:
>
> [mm]\bruch{1}{k^5} \summe_{i=0}^{k-1}\summe_{j=0}^{k-1}i j^2=\bruch{1}{k^5} \left( \ \summe_{i=0}^{k-1}i \ \right) \left( \ \summe_{j=0}^{k-1} j^2) \right)[/mm]
>
> Es gilt allgemein für [mm]\summe_{i=0}^{n}k=\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
> und somit gilt für [mm]\summe_{i=0}^{k-1}i=\bruch{(k-1)k}{2}[/mm]
>
> Es gilt allgemein für
> [mm]\summe_{i=0}^{n}k^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm] und somit gilt
> für [mm]\summe_{j=0}^{k-1} j^2=\bruch{k(k-1)(2k-1)}{6}[/mm]
>
> Wodurch sich insgesamt folgendes ergibt:
>
> [mm]\bruch{1}{k^5} \cdot \bruch{(k-1)k}{2} \cdot \bruch{k(k-1)(2k-1)}{6}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{k^5} \cdot \bruch{k^2(k-1^2)(2k-1)}{12}=\bruch{k^2(k-1)(2k-1)}{12 k^5}=\bruch{k^2(2k^2-3k+1)}{12k^5}=\bruch{2k^4-3k^3+k^2}{12k^5}[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\bruch{1}{k^5} \cdot \bruch{(k-1)k}{2} \cdot \bruch{k(k-1)(2k-1)}{6}=\bruch{1}{k^5} \cdot \bruch{k^2(k-1)^{\blue{2}}(2k-1)}{12}[/mm]
>
> Und weiter sollte es doch jetzt eigentlich nur noch
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] bilden oder ??? Und der
Ja.
> dürfte doch eigentlich 0 sein oder ???
>
Nein.
> Aber was hat das ganze jetzt mkit Doppelintegralen zu tun
> ???
>
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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