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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Do 26.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen...
ich habe leider mal wieder ein Aufgabe gefunden, die mir ein wenig Schmerzen bereitet.
Sei [mm] Q=\left\{ (x,y) \in \IR^2 | |x|+|y| \le 1 \right\}.
[/mm]
Berechnet werden soll nun [mm] \integral \integral_Q \bruch{cos(\bruch{\pi}{2}(x-y))}{1+(x+y)^2} [/mm] dx dy und zwar durch Doppelintegration.
Es soll folgende Koordinatentransformation verwendet werden:
u=x-y
v=x+y
Nun zu meiner Frage.
Es wäre ja zunächst sinnvoll überhaupt erstmal Integrationsgrenzen aufzustellen bzw. zu finden.
Hierfür versuche ich mir eine Skizze zur Menge Q zu machen.
Es gilt ja nun |x| + |y| [mm] \le [/mm] 1
Diese Ungleichung ist ja wiederum erfüllt für |x|=1, wenn |y|=0 oder für |y|=1, wenn |x|=0
Die Skizze der Menge wäre dann ein Quadrat im 1. Quadranten, mit den grenzen x=1 und y=1
Also hätte ich nun gesagt, dass 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1
mfg thadod
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Das stimmt nicht. Beachte bei der Ungleichung [mm]|x| + |y| \leq 1[/mm], daß es dem Betrag nicht auf das Vorzeichen ankommt. Zum Beispiel ist [mm](0{,}3 \, | \, 0{,}4 )[/mm] eine Lösung, denn die Summe der Beträge dieser Zahlen ist kleinergleich 1. Dann sind aber auch die Paare [mm](0{,}3 \, | \, -0{,}4 ), \ (-0{,}3 \, | \, 0{,}4 ), \ (-0{,}3 \, | \, -0{,}4 )[/mm] Lösungen. Die Vorzeichenänderungen entsprechen Spiegelungen an den Koordinatenachsen bzw. am Ursprung. Es genügt daher, den Fall [mm]x \geq 0, \ y \geq 0[/mm] zu behandeln. Damit entfallen die Betragsstriche. Für das Endergebnis ist die gefundene Fläche im I. Quadranten an den Koordinatenachsen und am Ursprung zu spiegeln.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Do 26.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo..
Das klingt allerdings so ähnlich, wie dass, was ich mir bereits skizziert habe...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie müsste ich deiner Erklärung nach nun spiegeln ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Do 26.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo..
>
> Das klingt allerdings so ähnlich, wie dass, was ich mir
> bereits skizziert habe...
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Wie müsste ich deiner Erklärung nach nun spiegeln ?
Schau Dir das mal an:
http://de.wikipedia.org/wiki/P-Norm
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Do 26.01.2012 | | Autor: | thadod |
Habs gelesen.
Aber welcher Norm kommt meiner ungleichung denn am nächsten? Das müsste doch dann die Summennorm bzw. Betragssummennorn sein oder ?
Wie beschreibe ich dann die Menge ?
MfG thadod
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> Habs gelesen.
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> Aber welcher Norm kommt meiner ungleichung denn am
> nächsten? Das müsste doch dann die Summennorm bzw.
> Betragssummennorn sein oder ?
richtig.
>
> Wie beschreibe ich dann die Menge ?
>
du siehst doch bei wiki, wie der einheits-'kreis' für die 1-norm aussieht.
gruss
matthias
> MfG thadod
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> Habs gelesen.
>
> Aber welcher Norm kommt meiner ungleichung denn am
> nächsten? Das müsste doch dann die Summennorm bzw.
> Betragssummennorn sein oder ?
>
> Wie beschreibe ich dann die Menge ?
>
> MfG thadod
Hallo thadod,
den Hinweis auf sogenannte P-Normen, der hier
gegeben wurde, finde ich für die Klärung deiner
Frage nicht hilfreich. Mach dir doch einfach durch
eine Skizze, Tabelle oder Fallunterscheidungen
klar, welche Zahlenpaare bzw. welche Punkte in
der x-y-Ebene die Ungleichung erfüllen.
Zunächst also mal: für welche Zahlenpaare (x,y)
mit [mm] x\ge0 [/mm] und [mm] y\ge0 [/mm] gilt [mm] x+y\le1 [/mm] ?
Dann die Symmetrieüberlegungen.
LG
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