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Forum "HochschulPhysik" - Doppelpendel Simulation
Doppelpendel Simulation < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Doppelpendel Simulation: Problemlösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Do 11.06.2015
Autor: enco909

Aufgabe
Ein Doppelpendel mit den Stangenlängen [mm] l_1=l_2=l [/mm] und den Punktmassen [mm] m_1=m_2 [/mm] bewege sich im homogenen Schwerefeld g der Erde. Die Dimensionslosen Ortsvektoren [mm] \vec r_i=(x_i, y_1)^T [/mm] der Massepunkte, ausgedrückt durch
[mm] \vec r_1(t)=\begin{pmatrix} cos(\phi_1(t)) \\ sin(\phi_1(t) \end{pmatrix} [/mm], [mm] \vec r_2(t)= \vec r_1(t) + \begin{pmatrix} cos(\phi_2(t)) \\ sin(\phi_2(t) \end{pmatrix} [/mm] (1)
Die holonomen Zwangsbedingungen des Systems
[mm] \left| \vec r_1 \right|-1=0 [/mm], [mm] \left| \vec r_1 - \vec r_2 \right|-1=0 [/mm] (2)
sind somit vollständig berücksichtigt. Aus der Lagrange-Funktion folgen dann mit [mm] \omega_0^2 = g/l [/mm] die Bewegungsgleichungen
[mm] 2*\ddot \phi_1 + \ddot \phi_2 * \cos(\phi_1 - \phi_2) + \dot \phi_2^2 * \sin(\phi_1 - \phi_2) + 2* \omega_0^2* \sin(\phi_1)=0 [/mm] (3a)
[mm] \ddot \phi_2 + \ddot \phi_1 * \cos(\phi_1 - \phi_2) - \dot \phi_1^2 * \sin(\phi_1 - \phi_2) + \omega_0 * \sin(phi_2)=0 [/mm] (3b)

1.
Überführen Sie die Bewegungsgleichung in ein System aus vier gekoppelten Differentialgleichungen 1. Ordnung, indem Sie formal die Dgln. [mm] \dot \phi_1=v_1 [/mm] und [mm] \dot \phi_2=v_2 [/mm] definieren.
Entkoppeln sie anschließend dieses System insofern, dass Sie ein DGl-System der Form [mm] \dot \vec \xi = \vec F(\vec \xi) [/mm] mit [mm] \vex \xi=(\phi_1, \phi_2, \v_1, \v_2) [/mm] erhalten.

2.
Lösen sie dieses DGl-System numerisch für Pendel mit [mm] \omega_0^2=1 [/mm] mit den Anfangsbedingungen [mm] \phi_1(0)=\phi_2(0)=0 [/mm] und [mm] \dot \phi_1(0)/2=\dot \phi_2(0)=\alpha * (1+\delta)*\omega_0 [/mm] mit den freien Parametern [mm] \alpha [/mm] und [mm] \delta [/mm]. Verwenden sie das Mittelpunkt-Verfahren mit der Schrittweite [mm] \Delta t=10^{-2} [/mm].

3.
Stellen Sie die Schwingung der Massepunkte für [mm] t_{max}=100 [/mm], [mm] \delta=0 [/mm] und [mm] \alpha \in (0.33, 0.66} [/mm] mit gnuplot animiert dar. Benutzen sie hierfür z.B. das Code-Fragment auf der Rückseite.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich hänge schon bei 1. Zuerst habe ich die DGl in ein System von DGlen 1. Ordnung umgewandelt.

[mm] d/dt \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ v_1 \\ v_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ - \ddot \phi_2 * \cos(\phi_1 - \phi_2) - v_2^2 * \sin(\phi_1 - \phi_2) - 2 * \omega_0^2 * \sin(\phi1)}/2 \\ v_2 \\ -\ddot \phi_1 * cos (\phi_1-phi_2) + \omega_0^2 * \sin(\phi_2) - v_1^2 * \sin(\phi_1 - \phi_2) \end{pmatrix} [/mm]

Jetzt habe ich aber das Problem, dass ich nicht verstehe, was es mit der Form von dem [mm] \xi [/mm] auf sich hat bzw. was das bedeuten soll. Muss ich jetzt nur die zweiten Ableitungen von [mm] \phi [/mm] eliminieren oder muss ich das System noch andersweitig umformen?

Schonmal danke für jede Hilfe.

        
Bezug
Doppelpendel Simulation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 11.06.2015
Autor: MathePower

Hallo enco909,


[willkommenmr]


> Ein Doppelpendel mit den Stangenlängen [mm]l_1=l_2=l[/mm] und den
> Punktmassen [mm]m_1=m_2[/mm] bewege sich im homogenen Schwerefeld g
> der Erde. Die Dimensionslosen Ortsvektoren [mm]\vec r_i=(x_i, y_1)^T[/mm]
> der Massepunkte, ausgedrückt durch
>  [mm]\vec r_1(t)=\begin{pmatrix} cos(\phi_1(t)) \\ sin(\phi_1(t) \end{pmatrix} [/mm],
> [mm]\vec r_2(t)= \vec r_1(t) + \begin{pmatrix} cos(\phi_2(t)) \\ sin(\phi_2(t) \end{pmatrix}[/mm]
> (1)
>  Die holonomen Zwangsbedingungen des Systems
>  [mm]\left| \vec r_1 \right|-1=0 [/mm], [mm]\left| \vec r_1 - \vec r_2 \right|-1=0[/mm]
> (2)
>  sind somit vollständig berücksichtigt. Aus der
> Lagrange-Funktion folgen dann mit [mm]\omega_0^2 = g/l[/mm] die
> Bewegungsgleichungen
>  [mm]2*\ddot \phi_1 + \ddot \phi_2 * \cos(\phi_1 - \phi_2) + \dot \phi_2^2 * \sin(\phi_1 - \phi_2) + 2* \omega_0^2* \sin(\phi_1)=0[/mm]
> (3a)
>  [mm]\ddot \phi_2 + \ddot \phi_1 * \cos(\phi_1 - \phi_2) - \dot \phi_1^2 * \sin(\phi_1 - \phi_2) + \omega_0 * \sin(phi_2)=0[/mm]
> (3b)
>  
> 1.
>  Überführen Sie die Bewegungsgleichung in ein System aus
> vier gekoppelten Differentialgleichungen 1. Ordnung, indem
> Sie formal die Dgln. [mm]\dot \phi_1=v_1[/mm] und [mm]\dot \phi_2=v_2[/mm]
> definieren.
>  Entkoppeln sie anschließend dieses System insofern, dass
> Sie ein DGl-System der Form [mm]\dot \vec \xi = \vec F(\vec \xi)[/mm]
> mit [mm]\vex \xi=(\phi_1, \phi_2, \v_1, \v_2)[/mm] erhalten.
>  
> 2.
>  Lösen sie dieses DGl-System numerisch für Pendel mit
> [mm]\omega_0^2=1[/mm] mit den Anfangsbedingungen
> [mm]\phi_1(0)=\phi_2(0)=0[/mm] und [mm]\dot \phi_1(0)/2=\dot \phi_2(0)=\alpha * (1+\delta)*\omega_0[/mm]
> mit den freien Parametern [mm]\alpha[/mm] und [mm]\delta [/mm]. Verwenden sie
> das Mittelpunkt-Verfahren mit der Schrittweite [mm]\Delta t=10^{-2} [/mm].
>  
> 3.
>  Stellen Sie die Schwingung der Massepunkte für
> [mm]t_{max}=100 [/mm], [mm]\delta=0[/mm] und [mm]\alpha \in (0.33, 0.66}[/mm] mit
> gnuplot animiert dar. Benutzen sie hierfür z.B. das
> Code-Fragment auf der Rückseite.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Ich hänge schon bei 1. Zuerst habe ich die DGl in ein
> System von DGlen 1. Ordnung umgewandelt.
>  
> [mm]d/dt \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ v_1 \\ v_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ - \ddot \phi_2 * \cos(\phi_1 - \phi_2) - v_2^2 * \sin(\phi_1 - \phi_2) - 2 * \omega_0^2 * \sin(\phi1)}/2 \\ v_2 \\ -\ddot \phi_1 * cos (\phi_1-phi_2) + \omega_0^2 * \sin(\phi_2) - v_1^2 * \sin(\phi_1 - \phi_2) \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Jetzt habe ich aber das Problem, dass ich nicht verstehe,
> was es mit der Form von dem [mm]\xi[/mm] auf sich hat bzw. was das
> bedeuten soll. Muss ich jetzt nur die zweiten Ableitungen
> von [mm]\phi[/mm] eliminieren oder muss ich das System noch
> andersweitig umformen?
>  


Aus den Gleichungen (3a) und (3b) sind [mm]\ddot{\phi_{1}}[/mm] und [mm]\ddot{\phi_{2}}[/mm] zu eliminieren.

Setze dann [mm]\dot{v_{1}}=\ddot{\phi_{1}}, \ \dot{v_{2}}=\ddot{\phi_{2}}[/mm].

Dann steht da:

[mm]\pmat{\dot{\phi_{1}} \\ \dot{\phi_{2}} \\ \dot{v_{1}} \\ \dot{v_{2}}}=\pmat{v_{1} \\ v_{2} \\ f\left(\phi_{1}, \ \phi_{2}, \ v_{1}, \ v_{2}) \\ g\left(\phi_{1}, \ \phi_{2}, \ v_{1}, \ v_{2})}[/mm]


> Schonmal danke für jede Hilfe.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Doppelpendel Simulation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Fr 12.06.2015
Autor: enco909

Ich habe jetzt als DGl System folgendes raus bekommen:

[mm] \begin{pmatrix} \dot \phi_1 \\ \dot \phi_2 \\ \dot v_1 \\ \dot v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \bruch{-v_1^2 * \sin(\phi_1 - \phi_2)* \cos(\phi_1 - \phi_2)+ \omega_0^2 * \sin(\phi2) * \cos(\phi_1 - \phi_2) + v_2^2 * \sin(\phi_1 - \phi_2)- \omega_0^2 * \sin(\phi_1)}{2-\cos^2(\phi_1-\phi_2)} \\ \bruch{-v_2^2* \sin(\phi_1-\phi2) * \cos(\phi_1 - \phi_2) + \omega_0^2 * \sin( \phi_1)*\cos(\phi_1-\phi_2) + v_1^2 * \sin(\phi_1-\phi_2) - \omega_0^2 * \sin(\phi_2)}{2-\cos^2(\phi_1-\phi_2)} \end{pmatrix} [/mm]

Nun zu meinem nächsten Problem. Ich habe glaube ich nicht ganz verstanden, wie das Mittelpunktverfahren(Runge-Kutta 2. Ordnung) zu benutzen ist. Nach meinem Verständnis müsste es dann so aussehen, wobei dt die Schrittweite ist:

1.
[mm] y_1=\phi_1+0.5*dt*v_1 [/mm]
[mm] y_2=\phi_2+0.5*dt*v_2 [/mm]
[mm] \dot y_1=v_1+0.5*dt*\ddot \phi_1(phi_1, phi_2, v_1, v_2, \omega_0) [/mm]
[mm] \dot y_2=v_1+0.5*dt*\ddot \phi_2(phi_1, phi_2, v_1, v_2, \omega_0) [/mm]

2.
[mm] \ddot y_1 =v_1+0.5*\ddot \phi_1(y_1, y_2, \dot y_1, \dot y_2, \omega0) [/mm]
[mm] \ddot y_2 =v_2+0.5*\ddot \phi_2(y_1, y_2, \dot y_1, \dot y_2, \omega0) [/mm]

3.
[mm] \dot y_{1Neu}=v_1*dt*\ddot y_1 [/mm]
[mm] \dot y_{2Neu}=v_2*dt*\ddot y_2 [/mm]
[mm] y_{1Neu}=v_1*dt*\dot y_1 [/mm]
[mm] y_{2Neu}=v_2*dt*\dot y_2 [/mm]

Hoffe, dass ist so verständlich.
Habe ich das so richtig verpackt oder hab ich irgendwo einen Verständnisfehler drin?

LG enco909

Bezug
                        
Bezug
Doppelpendel Simulation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Fr 12.06.2015
Autor: MathePower

Hallo enco909,

> Ich habe jetzt als DGl System folgendes raus bekommen:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} \dot \phi_1 \\ \dot \phi_2 \\ \dot v_1 \\ \dot v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \bruch{-v_1^2 * \sin(\phi_1 - \phi_2)* \cos(\phi_1 - \phi_2)+ \omega_0^2 * \sin(\phi2) * \cos(\phi_1 - \phi_2) + v_2^2 * \sin(\phi_1 - \phi_2)- \omega_0^2 * \sin(\phi_1)}{2-\cos^2(\phi_1-\phi_2)} \\ \bruch{-v_2^2* \sin(\phi_1-\phi2) * \cos(\phi_1 - \phi_2) + \omega_0^2 * \sin( \phi_1)*\cos(\phi_1-\phi_2) + v_1^2 * \sin(\phi_1-\phi_2) - \omega_0^2 * \sin(\phi_2)}{2-\cos^2(\phi_1-\phi_2)} \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Nun zu meinem nächsten Problem. Ich habe glaube ich nicht
> ganz verstanden, wie das Mittelpunktverfahren(Runge-Kutta
> 2. Ordnung) zu benutzen ist. Nach meinem Verständnis
> müsste es dann so aussehen, wobei dt die Schrittweite
> ist:
>  
> 1.
>  [mm]y_1=\phi_1+0.5*dt*v_1[/mm]
>  [mm]y_2=\phi_2+0.5*dt*v_2[/mm]
>  [mm]\dot y_1=v_1+0.5*dt*\ddot \phi_1(phi_1, phi_2, v_1, v_2, \omega_0)[/mm]
>  
> [mm]\dot y_2=v_1+0.5*dt*\ddot \phi_2(phi_1, phi_2, v_1, v_2, \omega_0)[/mm]
>  


Hier muss es doch lauten:

[mm]\dot y_2=v_{\blue{2}}+0.5*dt*\ddot \phi_2(phi_1, phi_2, v_1, v_2, \omega_0)[/mm]

Dann muss der Wert der rechten Seite an der Stelle
[mm]\left(y_{1}, \ y_{2} , \ \dot{y_{1}}, \ \dot{y_{2}}\right)[/mm] gebildet werden.

Nennen wir diesen Wert [mm]k_{2}[/mm].

Dann ergibt sich der neue Näherungswert zu

[mm]\pmat{\phi_{1Neu} \\ \phi_{2Neu} \\ v_{1Neu} \\ v_{2Neu}}=\pmat{\phi_{1} \\ \phi_{2} \\ v_{1} \\ v_{2}}+dt*k_{2}[/mm]


> 2.
>  [mm]\ddot y_1 =v_1+0.5*\ddot \phi_1(y_1, y_2, \dot y_1, \dot y_2, \omega0)[/mm]
>  
> [mm]\ddot y_2 =v_2+0.5*\ddot \phi_2(y_1, y_2, \dot y_1, \dot y_2, \omega0)[/mm]
>  
> 3.
>  [mm]\dot y_{1Neu}=v_1*dt*\ddot y_1[/mm]
>  [mm]\dot y_{2Neu}=v_2*dt*\ddot y_2[/mm]
>  
> [mm]y_{1Neu}=v_1*dt*\dot y_1[/mm]
>  [mm]y_{2Neu}=v_2*dt*\dot y_2[/mm]
>  
> Hoffe, dass ist so verständlich.
>  Habe ich das so richtig verpackt oder hab ich irgendwo
> einen Verständnisfehler drin?
>  
> LG enco909


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Doppelpendel Simulation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:46 Sa 13.06.2015
Autor: enco909

Hallo MathePower,
Ich bin jetzt in meinem Programm an der Stelle, wo ich den Wert der rechten Seite an der Stelle [mm] (\dot y_1, \dot y_2, \ddot y_1, \ddot y_2) [/mm] berechnen muss. Hier stellt sich jetzt für mich die Frage, wie ich den neuen Wert von [mm] v_1 [/mm] bzw. [mm] v_2 [/mm] berechnen soll, weil ich da ja, im Gegensatz zu [mm] /phi_1 [/mm] bzw. [mm] /phi_2 [/mm] keine explizite Gleichung gegeben habe. Meine Idee wäre es, das ganze wie folgt zu machen:

[mm] k_{2 v_1} = v_1 + 0.5 *dt *phi1(\dot y_1, \dot y_2, \ddot y_1, \ddot y_2) [/mm]

[mm] v_2 [/mm] würde ich dann Analog dazu berechnen. Ist das Vorgehen so richtig oder übersehe ich irgendwas?

Grüße enco909

Bezug
                                        
Bezug
Doppelpendel Simulation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Sa 13.06.2015
Autor: MathePower

Hallo enco909,

> Hallo MathePower,
>  Ich bin jetzt in meinem Programm an der Stelle, wo ich den
> Wert der rechten Seite an der Stelle [mm](\dot y_1, \dot y_2, \ddot y_1, \ddot y_2)[/mm]
> berechnen muss. Hier stellt sich jetzt für mich die Frage,
> wie ich den neuen Wert von [mm]v_1[/mm] bzw. [mm]v_2[/mm] berechnen soll,
> weil ich da ja, im Gegensatz zu [mm]/phi_1[/mm] bzw. [mm]/phi_2[/mm] keine
> explizite Gleichung gegeben habe. Meine Idee wäre es, das
> ganze wie folgt zu machen:
>  
> [mm]k_{2 v_1} = v_1 + 0.5 *dt *phi1(\dot y_1, \dot y_2, \ddot y_1, \ddot y_2)[/mm]
>  
> [mm]v_2[/mm] würde ich dann Analog dazu berechnen. Ist das Vorgehen
> so richtig oder übersehe ich irgendwas?
>  


Das Vorgehen ist so richtig.


> Grüße enco909  


Gruss
MathePower

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