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| Aufgabe | Für $(j,k) [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] sei
[mm] $a_{jk}:= \begin{cases} 1 & \text{falls } j - k= 1 \\ -1 & \text{falls }j - k = -1 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$
[/mm]
Zeige, dass die Doppelreihe [mm] $\summe_{j, k=1}^{\infty} a_{jk}$ [/mm] nicht konvergiert. |
ich komme gar nicht klar mit dieser aufgabe. ich weiß nicht wie ich vorgehen soll. kann mir jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße
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Ich weiß nicht, was für einen Konvergenzbegriff für Doppelreihen ihr habt. Ich vermute, daß eine Doppelreihe nur dann konvergent genannt wird, wenn jede Art der Summation konvergiert, und zwar stets zum selben Grenzwert. Wenn man die Glieder der Reihe wie in einer Matrix nach Zeilen und Spalten anordnet, erhält man
[mm]\begin{matrix} & a_{11} & + & a_{12} & + & a_{13} & + & a_{14} & + & \ldots \\ + & a_{21} & + & a_{22} & + & a_{23} & + & a_{24} & + & \ldots \\ + & a_{31} & + & a_{32} & + & a_{33} & + & a_{34} & + & \ldots \\ + & a_{41} & + & a_{42} & + & a_{43} & + & a_{44} & + & \ldots \end{matrix}[/mm]
Die Werte eingesetzt, ergibt sich folgendes Schema:
[mm]\begin{matrix} & 0 & - & 1 & + & 0 & + & 0 & + & \ldots \\ + & 1 & + & 0 & - & 1 & + & 0 & + & \ldots \\ + & 0 & + & 1 & + & 0 & - & 1 & + & \ldots \\ + & 0 & + & 0 & + & 1 & + & 0 & + & \ldots \end{matrix}[/mm]
Jetzt bilde zuerst die Summe jeder Zeile und addiere dann die Summenwerte der Zeilen.
Bilde als zweites zuerst die Summe jeder Spalte und addiere dann die Summenwerte der Spalten.
Bilde als drittes die Summe jeder Diagonalen von rechts oben nach links unten und addiere dann die Summenwerte der Diagonalen.
Denke dir weitere Möglichkeiten der Summation aus. Und das zeigt dann schon alles ...
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Vielen Dank für deine Anteort, doch irgendwie, verstehe ich nicht so ganz wie du das meinst?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo looney_tune,
> Vielen Dank für deine Anteort, doch irgendwie, verstehe
> ich nicht so ganz wie du das meinst?
Was verstehst du denn daran nicht? So können wir doch nur spekulieren.
Wie lautet denn die Summe aller Zahlen, die Leopold_Gast in seinem Schema aufgeschrieben hat? In der ersten Zeile stehen offensichtlich nur Nullen, bis auf eine -1. Also lautet die Summe?
Wie sieht es mit der Summer aller Zahlen der 2. Zeile aus? Und der 3.?
Und was ist die Summe all dieser Zeilensummen?
Und was kommt heraus, wenn man dasselbe mit den Spalten macht?
Viele Grüße
Marc
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achso, soll ich einfach nur berechnen:
also 1. Zeil wäre = 1
dann -1+0+1+0=0
0-1+0+1= 0
0+0-1+0=-1
daraus folgt dann 1-1=0
also kommt überall 0 raus
bei den spalten sieht es ähnlich aus:
1. Spalte = 1
2. Spalte = 0
3. Splate= 0
4. Splate = -1
also die Summe daraus 1+(-1)= 0
die Diagonalen liefern:
0+0+0+0=0
-1-1-1= -3
0+0+0=0
1+1+1=3
-3+3=0
bedeutet das jetzt, dass die Doppelreihe nicht konvergiert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> achso, soll ich einfach nur berechnen:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die hast im folgenden den Zeilen- und Spaltenbegriff vertauscht. Eine Zeile ist waagerecht, eine Spalte ist senkrecht.
> also 1. Zeil wäre = 1
> dann -1+0+1+0=0
> 0-1+0+1= 0
> 0+0-1+0=-1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die [mm] $\ldots$-Notation [/mm] bedeutet doch, dass es so weiter geht, also steht in der vierten Zeile (die eigentlich eine Spalte ist) doch auch noch eine +1 und damit ist die Zeilensumme dort auch 0.
> daraus folgt dann 1-1=0
> also kommt überall 0 raus
> bei den spalten sieht es ähnlich aus:
> 1. Spalte = 1
> 2. Spalte = 0
> 3. Splate= 0
> 4. Splate = -1
Hier genauso wie oben.
> also die Summe daraus 1+(-1)= 0
> die Diagonalen liefern:
> 0+0+0+0=0
> -1-1-1= -3
genauso wie oben, die Zeilen und Spalten musst du dir unendlich weit fortgesetzt denken.
> 0+0+0=0
> 1+1+1=3
, s.o.
> -3+3=0
Mit den korrekten Ergebnissen siehst du, dass die Summe gar nicht definiert wäre.
> bedeutet das jetzt, dass die Doppelreihe nicht
> konvergiert?
Nach Leopold_Gast Einleitung müssen alle Summationsarten dasselbe ergeben, aber schon die Summe der Zeilensummen und die Summe der Spaltensummen stimmen ja schon nicht überein (das musst du allerdings erst noch herausfinden).
Viele Grüße
Marc
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ok, das bedeutet,
die Zeilensumme ergibt -1
Spaltensumme ist 1
die summe der diagonlaen wäre dann 0
also stimmen die summen nicht überein.
aber wäre das ein gültiger beweis für diese aufgabe?
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also zur konvergenz von doppelreihen haben wir folgendes aufgeschrieben:
seien [mm] \summe_{j=0}^{\infty} a_{j} [/mm] = a und [mm] \summe_{k=0}^{\infty} b_{k}=b [/mm] ansolut onvergent, dann konvergiert die Doppelreihe [mm] \summe_{j,k=0}^{\infty} a_{j} b_{k} [/mm] absolut gegen a*b.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 04.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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