Doppelte Partielle Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Spirital |
Hallo liebes Forum,
ich habe mich in diesem Forum angemeldet, weil ich keine Antwort auf meine Frage im Internet gefunden habe.
Es geht um die partielle Integration, warum muss man z.B. [mm] \integral_{1}^{5}{x² sin(x) dx} [/mm] doppelt partiell Integrieren? Wie das geht verstehe ich, nur ich kann mir da imoment keinen Sinn hinter denken. Bei z.B. der Substitutuion substituiere ich ja, damit sich möglichst einmal die Variable rauskürzt. Wie ist das mit der partiellen Integration?
Ich hoffe ich konnte meine Frage gut formulieren.
Vielen Dank im vorraus.
mfG
Alexander
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo liebes Forum,
> ich habe mich in diesem Forum angemeldet, weil ich keine
> Antwort auf meine Frage im Internet gefunden habe.
>
> Es geht um die partielle Integration, warum muss man z.B.
> [mm]\integral_{1}^{5}{x² sin(x) dx}[/mm] doppelt partiell
> Integrieren?
Da hast du dir kein gutes Beispiel für deine Frage ausgesucht, denn hier klappt es auf Anhieb:
[mm] \int{x*sin(x) dx}=-x*cos(x)-\int{-cos(x) dx}=-x*cos(x)+\int{cos(x) dx}
[/mm]
> Wie das geht verstehe ich, nur ich kann mir da
> imoment keinen Sinn hinter denken. Bei z.B. der
> Substitutuion substituiere ich ja, damit sich möglichst
> einmal die Variable rauskürzt. Wie ist das mit der
> partiellen Integration?
Mit dem Integrieren ist es nicht so einfach, wie das manchmal auf den ersten Blick ausschaut. Von der Differenzialrechnung her ist man es gewohnt, für eine Funktion mit geschlossenem Funktionsterm eben auch eine Ableitungsfunktion vermittelst der bekannten Regeln zu erhalten. Das geht jedoch bei der Integration in vielen Fällen überhaupt nicht, sprich: viele integrierbare Funktionen haben keine Stammfunktionen, die man als geschlossenen Term hinschreiben kann (also ohne bspw. unendliche Reihen zu verwenden). Insofern ist es bei der symbolischen Integration so, dass man im Prinzip froh sein muss, wenn es überhaupt Aussicht auf Erfolg gibt. Wenn man die (sehr komplizierte) Theorie hinter der Sache nicht kennt, dann weiß man das oft gar nicht.
Insofern lässt sich eine Antwort auf deine Frage folgendermaßen formulieren: für bestimmte Funktionstypen weiß man eben, dass es zum Erfolg führt, wenn man mehrfach partiell integriert. Sei bspw. f(x) eine integrierbare transzendente Funktion mit geschlossen darstellbarer Stammfunktion. Also etwa [mm] f(x)=e^x [/mm] oder eben f(x) =sin(x). Diese Funktion soll jetzt mit einem Polynom vom Grad n multipliziert werden, also etwa
[mm] g(x)=P_n(x)*f(x)
[/mm]
Dieses Polynom kann man, wie jedes, ableiten. Nach n Ableitungen wird man dabei eine Konstante erhalten. Und genau aus diesem Grund wird man das Integral
[mm] \int{g(x) dx}=\int{\left(P_n(x)*f(x)\right) dx}
[/mm]
durch n-fache partielle Integration lösen können, da dann das verbleibende Integral als Integrand nur noch ein Vielfaches der Funktion f hat (bei richtiger Zuordnung von u und v natürlich), für die wir ja die Stammfunktion als bekannt vorausgesetzt haben.
Also der Sinn besteht sozusagen darin, dass man i.d.R. überhaupt keine andere Möglichkeit hat, als mehrfach partiell zu integrieren.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Spirital |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Okay das mit dem Beispiel ist schlecht gelaufen, das sollte eigentlich [mm] x^2 [/mm] sinx heißen, tut mir leid.
Das das manchmal erforderlich ist doppelt zu Integrieren verstehe ich nun, dass man nur dadurch auf ein passendes Ergebnis kommt, gibt es den Merkmale dafür das es nur durch doppelte oder mehrfache Integration funktioniert? Also Woran erkenne ich das?
mfG
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Hallo,
wie gesagt: der Klassiker ist ein Integrand der Form
[mm] P_n(x)*g(x)
[/mm]
wobei man eine Stammfunktion von g(x) kennt. In deinem Beispiel wäre jetzt
[mm] P_2(x)=x^2
[/mm]
g(x)=sin(x)
und du benötigst dann eine zweifache partielle Integration.
Es gibt auch andere denkbare Beispiele. Auch ein Klassiker:
[mm] \int{sin(x)*e^x dx}=?
[/mm]
Wir wählen
[mm] u'=e^x
[/mm]
v=sin(x)
wobei in diesem Fall die Wahl von u und v tatsächlich egal ist. Jetzt versuchen wir, das zu berechnen:
[mm] \int{sin(x)*e^x dx}=sin(x)*e^x-\int{cos(x)*e^x dx}
[/mm]
Auf den ersten Blick also ein totaler Flop. Aber nur auf den ersten. Denn jetzt machen wir weiter:
[mm] \int{sin(x)*e^x dx}=sin(x)*e^x-\int{cos(x)*e^x dx}=sin(x)*e^x-\left(cos(x)*e^x-\int{-cos(x)*e^x dx}\right)=sin(x)*e^x-cos(x)*e^x-\int{sin(x)*e^x dx}
[/mm]
Wenn wir jetzt das verbleibende Integral durch Addition auf die linke Seite bringen und durch 2 dividieren, haben wir die Lösung:
[mm] 2*\int{sin(x)*e^x}=sin(x)*e^x-cos(x)*e^x+C \gdw
[/mm]
[mm] \int{sin(x)*e^x}=\bruch{e^x}{2}*\left(sin(x)-cos(x)\right)+C
[/mm]
Aber wie heißt es so schön:
Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst 
Es lassen sich sicherlich viele Merkregeln für die symbolische Integration aufstellen, aber eine Portion Intuition wird schon auch immer erforderlich sein, zumindest wenn es schwieriger wird.
Gruß, Diophant
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