Drehachse < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Do 04.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
| Aufgabe | Die Drehung [mm] \delta [/mm] : R3 [mm] \to [/mm] R3 werde hinsichtlich der kanonischen Basis beschrieben durch die
Matrix
D =
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0}
[/mm]
a) Geben Sie die Drehachse und den Drehwinkel der Drehung an. Wie lautet die Matrix
[mm] D^{-1}, [/mm] die der inversen Drehung [mm] \delta^{-1} [/mm] hinsichtlich der kanonischen Basis zugeordnet ist?
b) Wir betrachten die Basis
N = n1;n2;n3 = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 1 \\ 0 },\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 },\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Handelt es sich bei der Basis N um eine rechtshändig orientierte Orthonormalbasis?
c) Berechnen Sie die Matrix DN, die der Drehung [mm] \delta [/mm] hinsichtlich der Basis N zugeordnet
ist. |
hallo,
kann mir jemand weiterhelfen, ich versuche das mit der drehung zu verstehen aber es will einfach nicht klappen. von daher habe ich auch keinen ansatz...wenn mir jemand einen tipp geben kann wie ich vorgehen soll wäre das super.
vielen dank, mo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp: es ist
$D= [mm] \begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix} [/mm] $
mit [mm] \alpha [/mm] = [mm] \pi/2
[/mm]
Es handelt sich um eine Drehung um die y-Achse [mm] (x_2- [/mm] Achse), na mit welchem Drehwinkel ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Do 04.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
ok ^^ danke! aber mein problem ist das ich genau diesen schritt nicht verstehe. wie kommst du darauf das das eine drehung um die y - achse ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> ok ^^ danke! aber mein problem ist das ich genau diesen
> schritt nicht verstehe. wie kommst du darauf das das eine
> drehung um die y - achse ist?
Taste Dich doch mal ran: was pasiert mit den Einheitsvektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Do 04.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
Wie die sich drehen? um 90° denke ich mal, sind ja alle orthogonal zueinander.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 04.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wie die sich drehen? um 90° denke ich mal, sind ja alle
> orthogonal zueinander.
Mach das mal genauer. Und bedenke, dass die Spalten der Abbilungsmatrix die Bildvektoren der Einheitsvektoren sind.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Do 04.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
sorry ^^ ich kann das nicht genauer erklären, da ich leider nicht den hauch einer ahnung habe wie ich das angehen soll...
gruß mo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Do 04.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Aus:
$ [mm] \pmat{\red{0}&\green{0}&\blue{1}\\\red{0}&\green{1}&\blue{0}\\\red{-1}&\green{0}&\blue{0}} [/mm] $
weisst du, dass
[mm] \left[\vec{e_{1}}\right]'
[/mm]
[mm] =\left[\vektor{1\\0\\0}\right]'
[/mm]
[mm] =\vektor{\red{0}\\\red{0}\\\red{-1}}
[/mm]
und
[mm] \left[\vec{e_{2}}\right]'
[/mm]
[mm] =\left[\vektor{0\\1\\0}\right]'
[/mm]
[mm] =\vektor{\green{0}\\\green{1}\\\green{0}}
[/mm]
sowie
[mm] \left[\vec{e_{3}}\right]'
[/mm]
[mm] =\left[\vektor{0\\0\\1}\right]'
[/mm]
[mm] =\vektor{\blue{-1}\\\blue{0}\\\blue{0}}
[/mm]
Überlege jetzt mal, um welche Achse man drehen muss, um solch eine Drehung hinzubekommen. Gibt es eine Fixgerade? Diese wäre ja dann Drehachse. Wenn du diese Fixgerade hast, kannst du mal überlegen, um wieviel Grad du drehen musst.
Damit kannst du dann deine Drehmatrix bestimmen. Schau mal nach, wie ihr Drehmatrizen (um eine Koordinatenachse) definiert habt.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Do 04.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
muss ich nur gucken in welche richtung und um welchen winkel die matrix gedreht wird bis sie auf die einheitsmatrix passt? was passiert denn mit der -1 ? oder sind die vorzeichen egal?
im skript kann ich da nich soo viel zu findne.
gruß mo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Do 04.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nein, die Matrix IST die Drehung.
Schau dir mal die allgemeinen ![[]](/images/popup.gif) Drehmatrizen (im [mm] \IR^{3} [/mm] ) an.
Welche der Drei und mit welchem Drehwinkel [mm] \alpha [/mm] ergibt denn deine Matrix
[mm] D=\pmat{0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Do 04.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
Muss ich da nur gucken mit welcher drehmatrix ich auf meine komme...das dann die achse und der winkel?
also in meinem fall ja dann eine drehung um die y-achse mit dem winkel 90° weil sin [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{4} [/mm] bzw [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
das ist dann die vorgehensweise um an die dreachse und winkel zu kommen?
vg mo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Fr 05.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du weisst , wohin die 3 Standardeinheitsvektoren gedreht werden, kannst du dir doch die Drehung einfach vorstellen?
nimm deine Rechte Hand als KOOS zur Hilfe, wenn dus nicht im Kopf kannst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Fr 05.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
hallo,
war das denn jetzt richtiug was ich gerechnet habe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Fr 05.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Muss ich da nur gucken mit welcher drehmatrix ich auf meine komme...das
> dann die achse und der winkel?
Yep.
> also in meinem fall ja dann eine drehung um die y-achse mit dem winkel 90°
> weil sin $ [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{4} [/mm] $ bzw $ [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] $
Was genau meinst du mit [mm] sin\bruch{1}{2}\wurzel{4} [/mm] ?
Es ist eine Drehung um die y-Achse mit dem Winkel [mm] \alpha=90^{\circ}_{\text{Gradmaß}}=\bruch{\pi}{2}_{\text{Bogenmaß}}
[/mm]
>
> das ist dann die vorgehensweise um an die dreachse und winkel zu kommen?
> vg mo
So ist es
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Fr 05.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
hallo,
ok danke :)
ich meinte [mm] asin\bruch{1}{2}\wurzel{4} [/mm] ist auch 90°
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 07.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
hallo,
habe nocheinmal eine frage zu den aufgabenteilen b) und c)
zu b) wie kann ich das berechnen oder sehen ob das orthonormiert ist? ich weis nur wie ich eine basis normiere...und die orientierung erkenn ich doch an den winkeln ob die positiv oder negativ sind oder?
zu c) das ist eine drehung um die z-achse um 45°. habe ich die frage so richtig verstanden und ist das die antwort?
vielen dank im voraus, gruß mo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 07.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ne Basis ist "normal" wenn die Basis aus Einheitsvektoren besteht.
Ne Basis ist orthogonal, wenn die Basisvektoren paarweise senkrecht aufeinander stehen, bzw, <v1,v2>=<v1,v2>=<v1,v3>=<v2,v3>=0
wenn beides gilt ist sie orthonormal
sie ist ein Rechtssystem, wenn sie sich wie Daumen v1, Zeigefinger v2 , Mittelfinger v3 der rechten Hand, ein Linkssystem dder linken Hand verhält.
also rechtsystem wenn [mm] v1\times [/mm] v2= v3 Linkssystem [mm] v1\times [/mm] v2= -v3
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mo 08.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
ok...wodrann erkenn ich denn ob der aus einheitsvektoren besteht? in meinem buch steht das der vektor mir sich selbst multipliziert 1 ergeben muss
also
[mm] \vec{a}*\vec{a} [/mm] = 1
habe ich das richtig verstaden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> ok...wodrann erkenn ich denn ob der aus einheitsvektoren
> besteht? in meinem buch steht das der vektor mir sich
> selbst multipliziert 1 ergeben muss
>
> also
>
> [mm]\vec{a}*\vec{a}[/mm] = 1
>
> habe ich das richtig verstaden?
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 08.02.2010 | | Autor: | mo1985 |
Also gillt im [mm] R^{3} [/mm] alle drei vekoren mussen mit sich selbst multipliziert 1 ergeben...dann sind es einheitsvektoren und wenn die dann noch rechtwinkling auf einander stehen (jeweils zwei vekotern) dann ist es ein orthonormiertes system?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also gillt im [mm]R^{3}[/mm] alle drei vekoren mussen mit sich
> selbst multipliziert 1 ergeben...dann sind es
> einheitsvektoren und wenn die dann noch rechtwinkling auf
> einander stehen (jeweils zwei vekotern) dann ist es ein
> orthonormiertes system?
So ist es
FRED
|
|
|
|
