Drehgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Fanomos |
| Aufgabe | | Aufg.: Zeige (Z/5,+) und die Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks sind isomorph. |
Klar ist, dass (G,o) isomorph zu (H,o) ist wenn:
a)f bijektiv ist(was ist eigentlich hier f?)
b)für alle a, b Element G gilt f(a oG b) = f(a) oH f(b) ist.
Reicht es wenn ich jeweils die Verknüpfungstafel beider Gruppen erstelle und dann zeige, dass sie formal übereinstimmen, dass heißt die Kopfzeile zyklisch vertauscht wird?
Oder wie zeige ich noch, dass zwei Gruppen zueinander isomorph sind?
Würde es auch reichen wenn ich nach einem Satz behaupte:
Da (Z/5,+) und Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks zyklisch sind und dieselbe Ordnung haben so sind sie zueinander isomorph.?
Für Eure Unterstützung bedanke ich mich im Voraus!
Fanomos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 So 03.02.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Aufg.: Zeige (Z/5,+) und die Drehgruppe des regelmäßigen
> 5-Ecks sind isomorph.
> Klar ist, dass (G,o) isomorph zu (H,o) ist wenn:
> a)f bijektiv ist(was ist eigentlich hier f?)
Das f sollst du gerade angeben.
> b)für alle a, b Element G gilt f(a oG b) = f(a) oH f(b)
> ist.
>
> Reicht es wenn ich jeweils die Verknüpfungstafel beider
> Gruppen erstelle und dann zeige, dass sie formal
> übereinstimmen, dass heißt die Kopfzeile zyklisch
> vertauscht wird?
Das würde wohl reichen, wenn du den richtigen Text dazu findest, aber wenn du sie nur hinschreibst, hast du ja das f noch nicht.
> Oder wie zeige ich noch, dass zwei Gruppen zueinander
> isomorph sind?
Das hängt vom Vorwissen ab.
> Würde es auch reichen wenn ich nach einem Satz behaupte:
> Da (Z/5,+) und Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks zyklisch
> sind und dieselbe Ordnung haben so sind sie zueinander
> isomorph.?
Wenn dieser Satz zu deinem Vorwissen gehört, dann ist das völlig OK. Ist auch völlig klar, daß beide Gruppen zyklisch sind? Und daß sie 5 Elemente haben?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
PS: Die Frage war bei Topologie völlig falsch abgelegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 So 03.02.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo Dieter!
Zunächst einmal vielen Dank für Deine Antwort  .
> Das würde wohl reichen, wenn du den richtigen Text dazu
> findest, aber wenn du sie nur hinschreibst, hast du ja das
> f noch nicht.
Was meinst Du mit "richtigem Text"?
> Wenn dieser Satz zu deinem Vorwissen gehört, dann ist das
> völlig OK. Ist auch völlig klar, daß beide Gruppen zyklisch
> sind? Und daß sie 5 Elemente haben?
Ja, das ist klar.
Es gibt ein Element bzw. mehrere Elemente, das die Gruppe erzeugt. Dass sie fünf Elemnte haben ist auch klar. Aber das mit dem f, hm, irgendwie hab ich da noch ein Problem. Ich meine es gibt Aufgaben wo man zeigen soll, dass
f: (Z, +) --> (2Z, +) mit f(x):=2x ein Isomorphismus ist. Da ist f(x) gegeben. Aber hier versteh ich das noch nicht.
Vielen Dank für Deine Hilfe!
Fanomos
> PS: Die Frage war bei Topologie völlig falsch abgelegt.
Sorry, ich bin in den Matheforen noch etwas "ungeschickt".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 So 03.02.2008 | | Autor: | mg07 |
Bei Z/5 bilden Werte mit demselben Rest Elemente. Also sind die Restklassen aus ganzen Zahlen modulo 5 deine Gruppenelemente.
Die Drehgruppe besteht ja aus Werten, die die Drehwinkel der Eckkanten zueinander angeben. Kannst so häufig drehen wie es Ecken gibt.
Nu gucken was beim Drehen und beim Addieren gleich ist und dazu dann einen Funktionsterm f(x) = y mit x [mm] \in [/mm] (G,+) und y [mm] \in [/mm] (H,o) bilden.
hoffentlich hilfts
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mo 04.02.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> > Das würde wohl reichen, wenn du den richtigen Text dazu
> > findest, aber wenn du sie nur hinschreibst, hast du ja das
> > f noch nicht.
> Was meinst Du mit "richtigem Text"?
Der richtige Text könnte so aussehen, daß du sagst: Wenn ich dem n in der einen Gruppe die Drehung um n*72° in der anderen Gruppe zuordne und dann evtl. noch die Zeilen und Spalten umordne, dann wird aus der einen Verknüpfungstafel gerade die andere. Und damit sind die Gruppen isomorph.
'isomorph sein' ist doch gerade über die Existenz eines Isomorphismus definiert, also kommst du in der Regel an der Angabe von f nicht vorbei, es sei denn, jemand hat dir das in einem allgemeinen Satz bereits abgenommen.
Im Beweis des Satzes, daß 2 endliche zyklische Gruppen gleicher Ordnung isomorph sind, wird dieses f angegeben.
> > Wenn dieser Satz zu deinem Vorwissen gehört, dann ist das
> > völlig OK. Ist auch völlig klar, daß beide Gruppen zyklisch
> > sind? Und daß sie 5 Elemente haben?
> Ja, das ist klar.
> Es gibt ein Element bzw. mehrere Elemente, das die Gruppe
> erzeugt. Dass sie fünf Elemnte haben ist auch klar. Aber
> das mit dem f, hm, irgendwie hab ich da noch ein Problem.
> Ich meine es gibt Aufgaben wo man zeigen soll, dass
> f: (Z, +) --> (2Z, +) mit f(x):=2x ein Isomorphismus ist.
> Da ist f(x) gegeben. Aber hier versteh ich das noch nicht.
Hier müßtest du das f beischaffen, oder du benutzt o. a. Satz, dann hat das jemand anders gemacht.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Fanomos |
Erst mal vielen Dank für Eure Hilfe.
Ich würde jetzt also folgendes behaupten:
- der Restklasse 0(a) der (Z/5, +) ordne ich die Drehung um 0(360)(f) Grad der Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks zu
- der Restklasse 1(b) der (Z/5, +) ordne ich die Drehung um 72(-288)(g) Grad der Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks zu
- der Restklasse 2(c) der (Z/5, +) ordne ich die Drehung um 144(-216)(h) Grad der Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks zu
- der Restklasse 3(d) der (Z/5, +) ordne ich die Drehung um 216(-144)(i) Grad der Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks zu
- der Restklasse 4(e) der (Z/5, +) ordne ich die Drehung um 288(-74)(j) Grad der Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks zu
Somit gilt:
f(1 o 2) = f(1) o f(2) = 3 = 72 o 144 = 216. ?
f(b o c) = f(b) o f(c) = d = g o h = i. ?
f(b) = g.? Ist das die allgemeine Aussage?
Also wenn das alles bescheuert ist dann sagt es mir ruhig offen. Vielen Dank für die Mühe.
Fanomos
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo,
ich bin an einer Antwort noch interessiert.
Wäre klasse, jemand könnte mir da noch weiterhelfen!
Fanomos
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Fr 08.02.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Ich würde jetzt also folgendes behaupten:
>
> - der Restklasse 0(a) der (Z/5, +) ordne ich die Drehung um
> 0(360)(f) Grad der Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks zu
> - der Restklasse 1(b) der (Z/5, +) ordne ich die Drehung
> um 72(-288)(g) Grad der Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks
> zu
> - der Restklasse 2(c) der (Z/5, +) ordne ich die Drehung
> um 144(-216)(h) Grad der Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks
> zu
> - der Restklasse 3(d) der (Z/5, +) ordne ich die Drehung
> um 216(-144)(i) Grad der Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks
> zu
> - der Restklasse 4(e) der (Z/5, +) ordne ich die Drehung
> um 288(-74)(j) Grad der Drehgruppe des regelmäßigen 5-Ecks
> zu
So kann man f jedenfalls definieren. Auf jeden Fall ist das so definierte f bijektiv, das sieht man mit bloßem Auge.
> Somit gilt:
>
> f(1 o 2) = f(1) o f(2) = 3 = 72 o 144 = 216. ?
>
> f(b o c) = f(b) o f(c) = d = g o h = i. ?
>
> f(b) = g.? Ist das die allgemeine Aussage?
Damit es auch ein Isomorphismus ist, muß f(x [mm] \circ [/mm] y) = f(x) [mm] \circ [/mm] f(y) für alle x und y aus der modulo-Gruppe gelten. Dieser Nachweis fehlt hier noch! Dazu könntest du alle 25 Möglichkeiten durchprobieren, das wäre richtig, aber etwas unmathematisch. Eleganter wäre der Einsatz des Homomorphiesatzes. Dabei untersuchst du die Abbildung f: [mm] \IZ \to \mathcal{D} [/mm] (die Gruppe der Drehungen) mit f(r) = [mm] D_{r*72°} [/mm] und bestimmst das Bild und den Kern.
Es ist dann [mm] \IZ/ker(f) \cong [/mm] im(f), was ja deine Behauptung ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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