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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 Fr 10.09.2004 | | Autor: | kaffee |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo Leute!
Habe folgendes Problem: Finde eine Matrix R aus M(nxn, ¦R)
sodass
[mm] R^3 [/mm] =
0 -1
1 0
oder zeige,dass keine solche Matrix existiert.
Ich habe schon eine ähnliche Aufgabe gelöst, wo B:= R^(1/3) mit Hilfe einer nilpotenten Matrix zu approximieren war. Nur, hier geht das nicht.
Wie löse ich also ein solches Problem im Allgemeinen und speziell in diesem Fall?
Danke für eure Hilfe, sarah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Fr 10.09.2004 | | Autor: | b-tux |
Hallo sarah
Sei $ [mm] A=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }$. [/mm] $~^tA [mm] A=E=\pmat{1 &0 \\ 0 & 1}$ [/mm] und [mm] $\det [/mm] (A) =1$, d.h. [mm] $A\in [/mm] SO(2)$, der speziellen orthogonale Gruppe. Elemente von $SO(2)$ haben nun allgemein die Form [mm] $R=\pmat {\sin (x) & \cos(x) \\ -\cos (x) & \sin(x)}\in [/mm] SO(2)$ oder $~^tR$. Rechnen wir nun [mm] $R^3=\pmat{-\sin (x)\left(4\cos ^2(x)-1\right) & \cos (x) \left( 4 \sin ^2(x)-1 \right) \\ \cos (x) \left( 4 \cos ^2(x)-3 \right) & -\sin (x)\left(4\cos ^2(x)-1\right)} [/mm] = A$. Dies ist für $x=0$ erfüllt und damit ist [mm] $R=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}$. [/mm] Wenn man [mm] $(~^tR)^3$ [/mm] gerechnet hätte, hätte man $~^tA$ erhalten. Wann man $R$ und wann $~^tR$ nimmt, weiss ich leider nicht. Auch weiss ich nicht wie man vorgeht wenn man allgemeine [mm] $(n\times [/mm] n)$-Matrizen hat.
Gruss
b-tux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Fr 10.09.2004 | | Autor: | kaffee |
Danke b-tux!
das mit der speziellen linearen Gruppe macht sinn, und dabei kommt auch noch die einfachste der drei lösungen heraus:) und in einer prüfungssituation hat man bekanntlich lieber matrizen mit ganzen zahlen, als solche mit wuzeln. wie dem auch sei. grüsse, sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Fr 10.09.2004 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo zusammen!
Ich würde die Sache ja etwas anders angehen, und zwar wie folgt (ich gebe zwei Alternativen an):
1) geometrisch
Es handelt sich bei
$A= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
um eine Drehmatrix. Jetzt gilt es den Winkel herauszufinden. Drehmatrizen (also Matrizen aus $SO(2)$ haben (meiner Ansicht nach) die Darstellung
$D(\varphi):= \begin{pmatrix} \cos(\varphi) & \sin(\varphi) \\ -\sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix}$
für ein $\varphi \in [0,2\pi[$.
In diesem Fall ist $A= D(\frac{3}{2} \pi)$,
denn:
$\cos(\frac{3}{2}\pi) = 0$,
$\sin(\frac{3}{2}\pi) = -1$.
Nun entsprechen $\frac{3}{2}\pi$ gerade 270°.
Welche dreifachen Drehungen um einen festen Winkel $\alpha$ entsprechen nun vom Ergebnis einer einfachen Drehung um 270°?
Offenbar die dreifachen Drehungen um 90°, 210° und 330°, denn
$3\cdot 90 \equiv 270 \pmod{360}$,
$3 \cdot 210 \equiv 630 \equiv 270 \pmod{360}$,
$3 \cdot 330 \equiv 990 \equiv 270 \pmod{360}$.
Jetzt übersetzen wir das ins Bogenmaß. 90 Grad entsprechen $\frac{\pi}{2}$, 210 Grad entsprechen $\frac{7}{6}\pi$, und 330 Grad entsprechen $\frac{11}{6}\pi$.
Daher sind genau die drei Matrizen
$R_1 = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{2}) & \sin(\frac{pi}{2}) \\ -\sin(\frac{\pi}{2}) & \cos(\frac{\pi}{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$,
$R_2 = \begin{pmatrix} \cos(\frac{7}{6}\pi) & \sin(\frac{7}{6}\pi) \\ -\sin(\frac{7}{6}\pi) & \cos(\frac{7}{6}\pi) \end{pmatrix}$,
$R_3 = \begin{pmatrix} \cos(\frac{11}{6}\pi) & \sin(\frac{11}{6}\pi) \\ -\sin(\frac{11}{6}\pi) & \cos(\frac{11}{6}\pi) \end{pmatrix}$,
die gesuchten Wurzeln.
2) mit komplexen Wurzeln
Wenn man, wie ich, wenig geometrische Intuition hat, geht es analytisch einfacher. 
Die Matrix $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ entspricht der komplexen Zahl (siehe oben):
$e^{i\, \frac{3}{2}\pi}$.
Die dritten komplexen Einheitswurzeln sind gerade
$e^{i\, \frac{\frac{3}{2}\pi}{3}$, $e^{i\, \frac{\frac{3}{2}\pi + 2\pi}{3}$ und $e^{i\,\frac{\frac{3}{2}\pi + 4\pi}{3}$,
also:
$e^{i\, \frac{\pi}{2}}$, $e^{i\, \frac{7}{6}\pi}$ und $e^{i\, \frac{11}{6}\pi}$.
(Hier braucht man null Intuition, zum Glück! ).
Rückübersetzt in Matrizenschreibweise erhält man die drei Matrizen von oben:
$R_1 = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{2}) & \sin(\frac{pi}{2}) \\ -\sin(\frac{\pi}{2}) & \cos(\frac{\pi}{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$,
$R_2 = \begin{pmatrix} \cos(\frac{7}{6}\pi) & \sin(\frac{7}{6}\pi) \\ -\sin(\frac{7}{6}\pi) & \cos(\frac{7}{6}\pi) \end{pmatrix}$,
$R_3 = \begin{pmatrix} \cos(\frac{11}{6}\pi) & \sin(\frac{11}{6}\pi) \\ -\sin(\frac{11}{6}\pi) & \cos(\frac{11}{6}\pi) \end{pmatrix}$.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Fr 10.09.2004 | | Autor: | kaffee |
hallo julius!
danke für deine Hilfe! die analytische variante gefällt wirklich, denn die drehungen kann ich mir nicht so gut vorstellen...
bin aber leider an der berechnung der 3ten Einheitswurzeln gescheitert:( gibt es da eine gute formel? weil die die ich kenne führt zu keinem brauchbaren ergebnis!
schönes wochenende, sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Sa 11.09.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo kaffee!
Ja, ich kann dir eine Formel angeben.
Ist [mm] $z:=e^{i\, \varphi}$ [/mm] mit [mm] $\varphi \in [0,2\pi[$
[/mm]
eine komplexe Zahl vom Betrag $1$, dann sind gerade
[mm] $z_1= e^{i\, \frac{\varphi}{n}}, [/mm] \ [mm] z_2 [/mm] = [mm] e^{i\, \frac{\varphi +2\pi}{n}},\ z_3= e^{i\, \frac{\varphi +4\pi}{n}}, [/mm] \ [mm] \ldots,\ z_n= e^{i\, \frac{\varphi +2(n-1)\pi}{n}}$
[/mm]
die $n$ komplexen Einheitswurzeln von $z$. (Zum Vergrößern der Formel bitte auf die Formel klicken!)
Genau diese Darstellung habe ich verwendet. Überprüfe das bitte und frage nach, wenn was unklar geblieben ist. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Sa 11.09.2004 | | Autor: | kaffee |
Hallo Julius
Danke für die rasche Antwort. Das klappt jetzt alles wunderbar. Aber das ist ja auch nur noch einsetzen:)
Nur verstehe ichs noch nicht vollständig. Wieso muss der Betrag der Zahl gleich 1 sein? Für einen solchen Fall hätte ich dann eben die Formel
[mm]z_k=e^{ik\frac{2\pi}{n}}[/mm] für [mm]k\in [1, n] [/mm] und diese liefert ja das falsche resultat... ??? und für alle anderen Fälle deine Formel...
und vorallem hat unsere Zahl [mm] e^{i \pi\frac{3}{2}}[/mm] ja gar nicht Betrag 1,oder? Naja, das ist ja schon fast nur noch analysis und die kommt erst nächste woche dran:)
liebe grüsse, sarah
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Sa 11.09.2004 | | Autor: | kaffee |
Hi Julius!
Danke dir, du bist eine riesen Hilfe:)
Liebe Grüsse, sarah
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