www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Drehung Funktionentheorie
Drehung Funktionentheorie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Drehung Funktionentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Mo 08.06.2009
Autor: steppenhahn

Aufgabe
[mm] f:B_{1}(0)\to B_{1}(0) [/mm] sei eine holomorphe und bijektive Abbildung [mm] (B_{1}(0) [/mm] Einheitskugel), deren Inverse ebenfalls holomorph ist. Weiter gelte f(0) = 0. Zeigen Sie, dass f eine Drehung um den Nullpunkt beschreibt.

Hallo!

Eine ganz blöde Frage - wie wird eine "Drehung" in der Funktionentheorie definiert, bzw. was muss ich zeigen? Ich habe leider keine Vorlesungsmitschriften vorliegen, ein Link zur Definition würde mir reichen.

Viele Grüße und danke für Eure Hilfe, Stefan.

        
Bezug
Drehung Funktionentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Mo 08.06.2009
Autor: fred97


> [mm]f:B_{1}(0)\to B_{1}(0)[/mm] sei eine holomorphe und bijektive
> Abbildung [mm](B_{1}(0)[/mm] Einheitskugel), deren Inverse ebenfalls
> holomorph ist. Weiter gelte f(0) = 0. Zeigen Sie, dass f
> eine Drehung um den Nullpunkt beschreibt.
>  Hallo!
>  
> Eine ganz blöde Frage - wie wird eine "Drehung" in der
> Funktionentheorie definiert, bzw. was muss ich zeigen?


Du sollst zeigen: es gibt ein [mm] \alpha \in \IC [/mm] mit:

                [mm] $|\alpha| [/mm] = 1$ und $f(z) = [mm] \alpha [/mm] z$
(warum heißt so etwas wohl "Drehung" ?)

Gehe so vor:

1. die Funktionen f und [mm] f^{-1} [/mm] erfüllen die Vor. des Schwarzen Lemmas

2. Dieses Lemma besagt dann:

                  (*)  $|f(z)| [mm] \le [/mm] |z|$  für jedes $z [mm] \in B_{1}(0) [/mm] $ und  [mm] $|f^{-1}(w)| \le [/mm] |w|$  für jedes $w [mm] \in B_{1}(0) [/mm] $

3. Folgere aus (*):

               (**)      $|f(z)| = |z|$  für jedes $z [mm] \in B_{1}(0) [/mm] $

4. Was sagt das Schwarzsche Lemma zu (**) ?

FRED




> Ich
> habe leider keine Vorlesungsmitschriften vorliegen, ein
> Link zur Definition würde mir reichen.
>  
> Viele Grüße und danke für Eure Hilfe, Stefan.


Bezug
                
Bezug
Drehung Funktionentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Mo 08.06.2009
Autor: steppenhahn

Hallo fred,

vielen Dank für deine Antwort! Mit dem Schwarzschen Lemma ist das ja ganz leicht :-)

Also - es gilt zunächst $|f(z)| [mm] \le [/mm] |z|$ für jedes [mm] $z\in B_{1}(0)$ [/mm] und [mm] $|f^{-1}(w)| [/mm] < |w|$ für jedes [mm] $w\in B_{1}(0)$. [/mm]
Sei $w := f(z)$, dann erhält man aufgrund der Bijektivität von f:
$|f(z)| = |w| [mm] \ge |f^{-1}(w)| [/mm] = [mm] |f^{-1}(f(z))| [/mm] = |z|$. Also ist gleichzeitig

$|f(z)| [mm] \le [/mm] |z|$
und
$|f(z)| [mm] \ge [/mm] |z|$

und somit

$|f(z)| = |z|$

für alle [mm] $z\in B_{1}(0)$. [/mm]
Aus dem Schwarzschen Lemma folgt nun, dass sich $f(z)$ als $f(z) = [mm] e^{i*\lambda}*z$ [/mm] für ein passendes [mm] \lambda [/mm] darstellen lässt, d.h.

$f(z) = [mm] \alpha*z$ [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] = [mm] e^{i*\lambda} [/mm] und [mm] |\alpha| [/mm] = 1, also handelt es sich bei f um eine Drehung.

Ist das okay so?

Danke für Eure Hilfe und viele Grüße, Stefan.

Bezug
                        
Bezug
Drehung Funktionentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Mo 08.06.2009
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> vielen Dank für deine Antwort! Mit dem Schwarzschen Lemma
> ist das ja ganz leicht :-)
>  
> Also - es gilt zunächst [mm]|f(z)| \le |z|[/mm] für jedes [mm]z\in B_{1}(0)[/mm]
> und [mm]|f^{-1}(w)| < |w|[/mm] für jedes [mm]w\in B_{1}(0)[/mm].

Da hast Du Dich sicher verschrieben

Richtig:


[mm]|f^{-1}(w)| \le |w|[/mm]




>  Sei [mm]w := f(z)[/mm],
> dann erhält man aufgrund der Bijektivität von f:
>  [mm]|f(z)| = |w| \ge |f^{-1}(w)| = |f^{-1}(f(z))| = |z|[/mm]. Also
> ist gleichzeitig
>  
> [mm]|f(z)| \le |z|[/mm]
>  und
>  [mm]|f(z)| \ge |z|[/mm]
>  
> und somit
>  
> [mm]|f(z)| = |z|[/mm]
>  
> für alle [mm]z\in B_{1}(0)[/mm].
>  Aus dem Schwarzschen Lemma folgt
> nun, dass sich [mm]f(z)[/mm] als [mm]f(z) = e^{i*\lambda}*z[/mm] für ein
> passendes [mm]\lambda[/mm] darstellen lässt, d.h.
>  
> [mm]f(z) = \alpha*z[/mm] mit [mm]\alpha[/mm] = [mm]e^{i*\lambda}[/mm] und [mm]|\alpha|[/mm] =
> 1, also handelt es sich bei f um eine Drehung.
>  
> Ist das okay so?


Gut gemacht !

FRED


>  
> Danke für Eure Hilfe und viele Grüße, Stefan.


Bezug
                                
Bezug
Drehung Funktionentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 Mo 08.06.2009
Autor: steppenhahn

Ok, vielen vielen Dank für deine Tipps, fred :-)
Grüße, Stefan.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de