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Forum "Lineare Abbildungen" - Drehung, Spiegelung
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Drehung, Spiegelung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Di 29.07.2008
Autor: bigalow

Aufgabe
Folgende Aufgabe ist zu lösen:
[Dateianhang nicht öffentlich]

zur a) Meinem Skript entnehme ich [mm] \pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha } [/mm] als allgemeine Form einer Matrize mit Drehwinkel [mm] \alpha. [/mm]

Da die Basis C die Standardbasis ist, muss ich diese nicht weiter beachten?

Damit wäre meine Abbildung [mm] \phi:=\pmat{ \frac{\wurzel{2}}{2} & -\frac{\wurzel{2}}{2} \\ \frac{\wurzel{2}}{2} & \frac{\wurzel{2}}{2} } [/mm]

zur b)

hier wieder aus dem Skript: Matrizen der Form [mm] \pmat{ cos\alpha & sin\alpha \\ sin\alpha & -cos\alpha } [/mm]  beschreiben Spiegelungen.
Hier fehlt mir das Verständnis: Muss ich zuerst die Ebene spiegeln, indem ich sie mit der Matrize der obengenannten Form multipliziere? Dann habe ich [mm] {_E}\phi{_E}. [/mm] Um zu [mm] {_B}\phi{_B} [/mm] zu gelangen ein LGS aufstellen mit  den Spaltenvektoren von [mm] {_E}\phi{_E}. [/mm] Das würde ich aber bereits daran Scheitern das dieses [mm] {_E}\phi{_E} [/mm] eine 2x2-Matrix ist... kein Weiterkommen :( .

Danke für eure Antworten!

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Drehung, Spiegelung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Di 29.07.2008
Autor: Somebody


> Folgende Aufgabe ist zu lösen:
>  [Dateianhang nicht öffentlich]
>  zur a) Meinem Skript entnehme ich [mm]\pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }[/mm]
> als allgemeine Form einer Matrize mit Drehwinkel [mm]\alpha.[/mm]
>  
> Da die Basis C die Standardbasis ist, muss ich diese nicht
> weiter beachten?

Was in Deinem Skript über diese Drehmatrix steht bezieht sich ja auf die Standardbasis.

> Damit wäre meine Abbildung [mm]\phi:=\pmat{ \frac{\wurzel{2}}{2} & -\frac{\wurzel{2}}{2} \\ \frac{\wurzel{2}}{2} & \frac{\wurzel{2}}{2} }[/mm]

[ok]

> zur b)
>  
> hier wieder aus dem Skript: Matrizen der Form [mm]\pmat{ cos\alpha & sin\alpha \\ sin\alpha & -cos\alpha }[/mm]
>  beschreiben Spiegelungen.

Du hast in der Aufgabenstellung eine 3dim Situation. Was Du hier zu verwenden versuchst, mag allenfalls eine Geradenspiegelung im [mm] $\IR^2$ [/mm] sein.

> Hier fehlt mir das Verständnis: Muss ich zuerst die Ebene
> spiegeln, indem ich sie mit der Matrize der obengenannten
> Form multipliziere? Dann habe ich [mm]{_E}\phi{_E}.[/mm] Um zu
> [mm]{_B}\phi{_B}[/mm] zu gelangen ein LGS aufstellen mit  den
> Spaltenvektoren von [mm]{_E}\phi{_E}.[/mm] Das würde ich aber
> bereits daran Scheitern das dieses [mm]{_E}\phi{_E}[/mm] eine
> 2x2-Matrix ist... kein Weiterkommen :( .

Du erkennst an der Gleichung der Ebene [mm] $E_1$ [/mm] sogleich, dass [mm] $b_1$ [/mm] Normalenvektor dieser Ebene ist. [mm] $b_2$ [/mm] und [mm] $b_3$, [/mm] andererseits, sind [mm] $\perp b_1$ [/mm] also [mm] $\parallel E_1$. $b_1$ [/mm] wird somit bei der Spiegelung an [mm] $E_1$ [/mm] auf [mm] $-b_1$ [/mm] abgebildet, wohingegen [mm] $b_{2,3}$ [/mm] auf sich selbst abgebildet werden. Daher lautet die Abbildungsmatrix von [mm] $\varphi$ [/mm] bezüglich der Basis [mm] $\mathcal{B}=(b_1,b_2,b_3)$: [/mm]

[mm]{}_{\mathcal{B}}\varphi_{\mathcal{B}}=\pmat{-1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}[/mm]


Zur Bestimmung von [mm] ${}_{\mathcal{E}}\varphi_{\mathcal{E}}$ [/mm] bezüglich der Standardbasis [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] musst Du diese Matrix nun passend transformieren.


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