Drehung einer Ebene < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:24 Mo 31.12.2007 | | Autor: | easy2311 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, jede Drehung der Ebene [mm] R^2 [/mm] um den Ursprung ist die Zusammensetzung von zwei Spiegelungen! |
Mir erscheint diese Afgabe vom Prinzig her ganz logisch, nur weiß ich nicht, wie man das mathematisch beweisen soll.
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> Zeigen Sie, jede Drehung der Ebene [mm]R^2[/mm] um den Ursprung ist
> die Zusammensetzung von zwei Spiegelungen!
> Mir erscheint diese Afgabe vom Prinzig her ganz logisch,
> nur weiß ich nicht, wie man das mathematisch beweisen soll.
Hallo,
ich würde Dir ja gerne helfen, das, was Dir so logisch erscheint, in einem Beweis zu verwandeln.
Allerdings hast Du eine hohe Hürde eingebaut:
Du erklärst gar nicht, wieso das alles so logisch ist (das wäre dann auch der geforderte ein Lösungsansatz),
und wo Dein Problem liegt.
Das solltest Du unbedingt tun, und auch Deine Versuche, Deine Idee in die Sprache der Mathematik zu übersetzen sind interessant, weil man hieran sehen kann, was gerade "dran" ist, ob Ihr z.B. mit Matrizen rechnen sollt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Di 01.01.2008 | | Autor: | easy2311 |
Naja, wie gesagt, is nicht so leicht as in worte zu fassen. es gibt sicher mehrere lösungswege...matrizen haben wir u.a.
also ich habe eine zweidimensionale ebene, die x-y eben beispielsweise. diese ebene ist durch zwei voneinander unabhängige vektoren definiert. wenn man diese ebene nun um den ursprung dreht, dann wird der vektor x und der vektor y doch um [mm] \alpha [/mm] verschoben. also könnte man es doch an jeweis einer gerade spielgeln, die sie drehung um [mm] \alpha [/mm] halbe ist. eimal bei x und einmal bei y. wie gesagt, es ist schwierig das zu erklären...
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Hallo!
hast du dir dazu mal eine Skizze gemacht? Damit sollte die Lösung eigentlich recht schnell einsichtig werden, oder du solltest zumindest eine gute Vorstellung haben, wie diese Spiegelungsoperationen ablaufen sollten.
Ansonsten solltest du das sicher über Matrizen beweisen, sofern ihr grade Matrizen behandelt.
Weißt du denn, wie die Spiegelungsmatrix aussieht? Wenn du das weißt, kannst du mal zwei Spiegelungsmatrizen miteinander multiplizieren, dann bekommst du eine Matrix, die dir die zweifache Spiegelung beschreibt.
Sicher kennst du auch die Drehmatrix. Kannst du die zweifache-Spiegelung-Matrix so umformen, daß sie genauso wie eine Drehmatrix aussieht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Di 01.01.2008 | | Autor: | easy2311 |
Ja stimmt, die hatten wir gerade in einer anderen übungsaufgabe.
also die spiegelungsmatrix heißt doch:
[mm] \begin{pmatrix}
cos 2 \alpha & sin 2 \alpha \\
-sin 2 \alpha & cos 2 \alpha
\end{pmatrix}
[/mm]
jetzt habe ich diese matrix mit sich selbst multipliziert, da bekomme ich heraus:
[mm] \begin{pmatrix}
cos^2 2 \alpha + sin^2 2 \alpha & 0 \\
0 & sin^2 2 \alpha + cos^2 2 \alpha
\end{pmatrix}
[/mm]
aber auf die drehmatrix bin ich da ja jetzt nicht direkt gekommen...
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Hallo!
Beim Eintippen hast du nen kleinen Fehler gemacht, das '-' gehört nach unten rechts. Aber deine Berechnung der zweifachen Spiegelung ist erstmal korrekt.
Es gibt aber ein Problem: Dieser Winkel liegt zwischen der Spiegelgraden und der positiven x-Achse. Du spiegelst so zwei mal an der gleichen Graden, und landest an der ursprünglichen Position. Wenn du nämlich sin²+cos²=1 einsetzt, steht da die Einheitsmatrix.
Du benötigst Spiegelungen an zwei unterschiedlichen Graden, und mußt daher für beide Spiegelmatrizen unterschiedliche Winkel ansetzen. Danach solltest du mit ein paar Additionstheoremen auf das gewünschte Ergebnis kommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Do 03.01.2008 | | Autor: | easy2311 |
ich habe jetzt zwei matrizen miteinander multipliziert:
[mm] \begin{pmatrix}
cos 2 \alpha & sin 2 \alpha \\
sin 2 \alpha & -cos 2 \alpha
\end{pmatrix}
[/mm]
und
[mm] \begin{pmatrix}
cos 2 \beta & sin 2 \beta \\
sin 2 \beta & -cos 2 \beta
\end{pmatrix}
[/mm]
komme nun aber auf das ergebnis mit umformungsregeln usw...
[mm] \begin{pmatrix}
cos(2 \alpha - 2 \beta ) & sin (2 \alpha -2 \beta ) \\
sin (2 \alpha -2 \beta ) & cos(2 \alpha - 2 \beta )
\end{pmatrix}
[/mm]
für die drehmatrix fehlt doch aber unten links das "-" ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich habe jetzt zwei matrizen miteinander multipliziert:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
cos 2 \alpha & sin 2 \alpha \\
sin 2 \alpha & -cos 2 \alpha
\end{pmatrix}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\begin{pmatrix}
cos 2 \beta & sin 2 \beta \\
sin 2 \beta & -cos 2 \beta
\end{pmatrix}[/mm]
>
> komme nun aber auf das ergebnis mit umformungsregeln
> usw...
>
> [mm]\begin{pmatrix}
cos(2 \alpha - 2 \beta ) & sin (2 \alpha -2 \beta ) \\
sin (2 \alpha -2 \beta ) & cos(2 \alpha - 2 \beta )
\end{pmatrix}[/mm]
>
> für die drehmatrix fehlt doch aber unten links das "-" ???
Du hast dich verrechnet: rechts oben muss [mm]\sin (2 \beta -2 \alpha )[/mm] stehen. Dann ist es eine Drehmatrix für den Winkel [mm]2 \beta -2 \alpha[/mm].
Somit hast du bewiesen, dass die Kombination zweier Spiegelungen eine Drehung ergibt. Jetzt musst du noch die Umkehrung nachweisen.
Viele Grüße
Rainer
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