Drehung von Koordinatensystem < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 So 25.06.2006 | | Autor: | homme |
| Aufgabe | In der mit einem kartesischen K.S: versehen x,y-Ebene ist eine Kurve durch die Gleichung:
[mm] 3x^2 [/mm] + [mm] 3y^2 [/mm] + 12x + 4y + 2xy + 11 = 0
gegeben. Man führe ein neues K.S: (mit x' und y' als Koordinaten) dadurch ein, dass man das alte K.S. um 45° um den Nullpunkt dreht (mathematisch psitiv). Drückt man die alten Koordinaten x und y durch die neuen Koordinaten x' und y' aus und setzt diese in die o.g. Gleichung ein, so entsteht eine neue Gleichung in den neuen Koordinaten. Man gebe diese neue Gleichung an und zeige, dass sie sich umformen lässt in die Ellipsengleichung:
[mm] \bruch{(x'-x'')^2}{a} + \bruch{(y'-y'')^2}{b} = 1 [/mm]?
mit geeigneten Halbachsen a und b und Mittelpunkt (x'', y'')
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Ich vermute, dass ich einen Fehler bei der Drehung meines Koordinatensystems gemacht habe.
Meine Transformationsmatriz, die die Drehung des KOS beschreibt schaut folgendermaßen aus:
[mm] \pmat{ cos 45° & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]?
Wenn ich dann die neuen Koordianten einsetze erhalte ich folgende Gleichung
3*(cos45° * [mm] x)^2 [/mm] + [mm] 3y^2 [/mm] + 12*(cos45°*x) + 4y +2 cos 45°x*y + 11 = 0
Diese Gleichung konnte ich nicht mehr in die Ellipsengleichung umformen.
Würde mich freuen, wenn mir bitte jemand sagen könnte, was ich hier falsch gemacht habe bzw. wie ich hier weiterkommen. Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 So 25.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo homme
Deine Matrix ist keine Drehmatrix!
1. erkennt man sofort, dass sie Nicht det=1 hat, also keine Orthogonalmatrix ist, sieht man direkt, dass sie dden Einheitsvektor (0,1) auf (cos45,0) abbildet und (0,1) auf (0,1) also schon deshalb keine drehung ist. Die richtige findest du indem du eben die 2 Basisvektoren auf die um 45° gedrehten abbildest. (der cos45 ist das einzig richtige daran)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 25.06.2006 | | Autor: | homme |
Hallo leduart,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Habe es jetzt nochmals probiert und würde gerne wissen ob folgende Drehmatrix richtig ist:
[mm] \pmat{ cos45° & sin 45° \\ -sin 45° & cos 45° } [/mm]?
Falls nicht, würde es mich freuen, wenn du mir sagen könntest was daran falsch ist. Weiß nicht ob's möglich ist, aber mich würde es freuen.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Mo 26.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, jetzt hast dus richtig, ich hoff es war besser für dich sie selbst zu finden.
Gruss leduart
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