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Dreieck, Viereck: Idee, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Mo 11.02.2019
Autor: Mathilda1

Aufgabe
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(4;2;6) B(2;0;8) und für jede reelle Zahl a der Punkt C(0;a;4) gegeben. Weisen Sie nach, dass für jeden Wert von a die Punkte A B und C Eckpunkte eines Dreiecks sind. Es gibt einen Wert von a und einen Punkt D, so dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D.

Meine Frage: Bei dem Nachweis, dass es sich immer um ein Dreieck handelt, weiß ich leider nicht, welche Eigenschaft des Dreiecks ich verwenden muss, die unabhängig von a ist.

Für die zweite Teilaufgabe habe ich für a -2 raus, wie kriege ich jetzt den Punkt D raus?

        
Bezug
Dreieck, Viereck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Mo 11.02.2019
Autor: Marc

Hallo Mathilda1!

> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(4;2;6) B(2;0;8) und für jede reelle Zahl a der Punkt
> C(0;a;4) gegeben. Weisen Sie nach, dass für jeden Wert von
> a die Punkte A B und C Eckpunkte eines Dreiecks sind. Es
> gibt einen Wert von a und einen Punkt D, so dass das
> Viereck ABCD ein Rechteck ist. Berechnen Sie die
> Koordinaten des Punktes D.
>  Meine Frage: Bei dem Nachweis, dass es sich immer um ein
> Dreieck handelt, weiß ich leider nicht, welche Eigenschaft
> des Dreiecks ich verwenden muss, die unabhängig von a
> ist.

Drei Punkte im [mm] $\IR^3$ [/mm] bilden immer ein Dreieck, es sei denn, sie liegen auf einer Geraden/sind kollinear. Hilft dir das weiter?
  

> Für die zweite Teilaufgabe habe ich für a -2 raus, wie
> kriege ich jetzt den Punkt D raus?

Die -2 hast du über den rechten Winkel berechnet, nehme ich an. In welchem Eckpunkt liegt dann der rechte Winkel? Mache dir einezweidimensionale Skizze und überlege, wo du die Vektoren [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] bzw. [mm] $\overrightarrow{BC}$ [/mm] in der Skizze findest und benutzen kannst, um den Punkt D zu berechnen.

Viele Grüße
Marc

Bezug
                
Bezug
Dreieck, Viereck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Mo 11.02.2019
Autor: Mathilda1

Hallo, vielen Dank für die Hilfe. Das mit dem Nachweis des Dreiecks habe ich verstanden. Allerdings verstehe ich das mit dem Punkt D nicht. Vektor AB hat den Betrag Wurzel aus 12. leider reicht diese Info nicht, um auf D zu kommen.

Bezug
                        
Bezug
Dreieck, Viereck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Mo 11.02.2019
Autor: Marc

Hallo,

> Hallo, vielen Dank für die Hilfe. Das mit dem Nachweis des
> Dreiecks habe ich verstanden. Allerdings verstehe ich das
> mit dem Punkt D nicht. Vektor AB hat den Betrag Wurzel aus
> 12. leider reicht diese Info nicht, um auf D zu kommen.

Die Länge ist ja nur eine Eigenschaft eines Vektors (neben Richtung und Orientierung).

Ich mache das mal im Zweidimensionalen vor. Angenommen, die Punkte A, B, C haben die Koordinaten
A(1|1), B(3|1), C(3|2) und Punkt D ist derjenige Punkt, der ABCD zu einem Rechteck macht.
Dann ist doch der Vektor [mm] $\overrightarrow{BC}=\vektor{3 \\ 2}-\vektor{3\\1}=\vektor{0\\1}$ [/mm]
Da ABCD ein Rechteck ist, gilt [mm] $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. [/mm] Nun erhält man die Koordinaten von D durch:
[mm] $\overrightarrow{0D}=\overrightarrow{0A}+\overrightarrow{AD}=\vektor{1\\1}+\vektor{0\\1}=\vektor{1\\2}$, [/mm] d.h. D(1|2)

Viele Grüße
Marc



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