Dreiecksfläche dritteln 31 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Nr. 31
Zerlege ein gegebenes Dreieck durch zwei Parallelen zur Grundseite in drei gleich grosse Teile. |
*** nix rumgepostet ***
Das Dreieck wird in zwei Trapeze und ein kleines Dreieck aufgeteilt:
Bezeichnungen:
ursprüngliches Dreieck = $ ABC $
Grundlinie = $ a $, Höhe = $ h $, Fläche = $ A $
unteres Trapez = [mm] T_{u} [/mm] = $ [mm] ABB_{1}A_{1} [/mm] $, Fläche = $ [mm] A_{u } [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}A [/mm] $
Grundlinie = $ a $, Höhe = $ [mm] h_{u} [/mm] $
oberes Trapez = [mm] T_{o} [/mm] = $ [mm] A_{1}B_{1}B_{2}A_{2} [/mm] $, Fläche = $ [mm] A_{o } [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}A [/mm] $
Grundlinie = $ [mm] A_{1}B_{1}= a_{o} [/mm] \ \ $ , Höhe = $ [mm] h_{o} [/mm] $
kleines Dreieck = $ [mm] A_{2}B_{2}C [/mm] $, Fläche = $ [mm] A_{d} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}A [/mm] $
Grundlinie = $ [mm] A_{2}B_{2} [/mm] = [mm] a_{d} [/mm] \ \ $ , Höhe = $ [mm] h_{d} [/mm] $
(a) Berechnung kleines Dreieck: $ [mm] A_{2}B_{2}C [/mm] \ $ :
[mm] \bruch{A_{d}}{A} \ = \ \bruch{1}{3}[/mm]
[mm] \bruch{h_{d}}{h} \ = \ \bruch{1}{ \wurzel{3}} [/mm]
[mm] h_{d} \ = \ \bruch{1}{\wurzel{3}} \ * \ h \ = \ \bruch{\wurzel{3}}{ 3}} * \ h \ [/mm]
$ [mm] h_{d} [/mm] = 0.577 * h $
Konstruktion von $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] $ analog Aufgabe Nr. 30, gleichseitige Dreiecke.
(b) Berechnung der Höhe des oberen Trapezes $ [mm] T_{o} [/mm] $ :
Das obere Trapez $ [mm] T_{o}$ [/mm] und das kleine Dreieck $ [mm] A_{2}B_{2}C [/mm] $ sind zusammen doppelt so gross wie das kleine Dreieck $ [mm] A_{2}B_{2}C [/mm] $ :
[mm]\bruch{A_{d}}{A_{d}+A_{o}} \ = \ \bruch{1}{2} [/mm]
Die Höhe des Dreiecks $ [mm] A_{1}B_{1}C [/mm] $ gebildet aus kleinem Dreieck $ [mm] A_{2}B_{2}C [/mm] $ und oberem Trapez $ [mm] T_{o}$ [/mm] verhält sich daher zur Höhe $ [mm] h_{d} [/mm] $ des kleinen Dreiecks wie die Wurzeln des Flächenverhältnisses.
Ab hier neu gerechnet dank Hweisen von riwe.
[mm] \bruch{h_{d}}{h_{d}+h_{o}} \ = \ \bruch{1}{ \wurzel{2}} [/mm]
[mm]h_{d}* \wurzel{2} \ = \ h_{d} \ + \ h_{o} \ [/mm]
[mm]h_{d}* \wurzel{2} \ - \ h_{d} \ = \ h_{o}[/mm]
[mm]h_{d}* (\wurzel{2} \ -1) \ = \ h_{o} [/mm]
$ [mm] h_{d} [/mm] $ einsetzen:
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{3}} \ * \ h \ * \ (\wurzel{2} \ -1) =
\bruch{\wurzel{2} \ -1}{ \wurzel{3}} \ * \ h \ = \ \ h_{o} [/mm]
[mm] h_{o} = 0.229 * h [/mm]
(c) Berechnung der Höhe des unteren Trapezes $ [mm] T_{u} [/mm] $ :
[mm]h_{u} \ = \ h - (h_{d} +h_{o}) [/mm]
[mm]h_{u} \ = \ h - \ ( \bruch{1}{ \wurzel {3} } * \ h ) \ + \ ( \bruch{\wurzel{2} \ -1}{ \wurzel{3}} \ * \ h \ ) \ = \ h \ * (1 \ - \wurzel{\bruch{2}{3}}) [/mm]
$ [mm] h_{u} [/mm] = 0.183 * h $
Nach dieser Rechnerei würde mich brennend interessieren:
1. stimmt das überhaupt ?
2. gibt es zu dieser Aufgabe eine alternative, einfachere Lösung
3. gibt es insbesondere eine konstruktive Lösung.
Mit allerbestem Dank und Grüssen aus Zürich, wo mitten im Winter heute erfreulicherweise die Sonne scheint.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Do 31.08.2006 | | Autor: | riwe |
hallo aus oO. nach zürich!
ich denke, so geht es (viel(leicht)) einfacher:
schau das ganze von oben nach unten an, dann hast du insgesamt 3 ÄHNLICHE dreiecke mit den flächen [mm] A_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{3} [/mm] A, [mm] A_2 [/mm] = [mm] \frac{2}{3} [/mm] A und [mm] A_3 [/mm] = [mm] \frac{3}{3} [/mm] A. daher hast du folgende höhen, gemessen in einheiten der ursprünlichen höhe H:
[mm] h_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{3}}H, h_2 [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} [/mm] H, gemessen von der spitze C nach unten.
n.s. die geometrische konstruktion ist ganz einfach
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo nach oOe
Herzlichen Dank für diese einleuchtende Betrachtungsweise mit den 3 ähnlichen Dreiecken.
Sie hat mir dazu verholfen, einen Rechnungsfehler zu eliminieren, sodass sich ab Punkt (b) meine Berechnung verändert hat. Wir erhalten daher jetzt das gleiche Resultat 
Ich wüsste, wie ich die Konstrtuktion mit dem Höhensatz anzupacken hätte. Deine elegante Idee kann ich allerdings nicht unmittelbar nachvollziehen. Daher bitte ich um einen Hinweis.
Grüsse aus dem Nachbarland.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Do 31.08.2006 | | Autor: | riwe |
ja zunächst benutze ich die seite AC, um mit dem höhensatz [mm] W_1W_3=\sqrt{3} [/mm] zu konstruieren , dazu sozusagen 2 fliegen mit einer klatsche [mm] CW_2 =\sqrt{2} [/mm] und (sowieso) [mm] CW_1 [/mm] = 1.
nun trage ich von C auf der seite AC die beiden strecken [mm] CW_2 (P_2) [/mm] und [mm] W_1W_3 (P_3) [/mm] ab.
parallele durch [mm] W_1 [/mm] zu [mm]P_3H [/mm] => division durch [mm] \sqrt{3} [/mm] und anschließend eine weitere parallele durch [mm] P_2 [/mm] => multiplikation mit [mm] \sqrt{2}.
[/mm]
alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:57 Fr 01.09.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Österreich
Alles klar und deutliche verständlich. Besten Dank
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