Dreiecksmatrix & lin. Abb. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Di 31.01.2006 | | Autor: | s222 |
| Aufgabe 1 | | Für jede obere Dreiecksmatrix $A$ gibt es ein $k [mm] \in [/mm] N$, so dass [mm] $A^k [/mm] = 0$ gilt. |
| Aufgabe 2 | | $V$ ist $n$-dimensionaler Vektorraum. Es gibt genau dann eine lineare Abb. $f : V [mm] \to [/mm] V$ mit [mm] $\ker [/mm] f = [mm] \operatorname{im} [/mm] f$, wenn $n$ gerade ist. |
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1.
Für A(nxn) n=2 ist das nicht schwer auszurechnen, die nimmt man zum Quadrat und bei A(3x3) hoch drei. Und ich glaube mal das geht dann auch so weiter, also bei A(nxn) ist dann k = n...
Aber wie beweise ich das?
Ich weiß ja: wenn i größer/gleich j ist, dann ist der Eintrag gleich Null, aber wenn ich das versuche aufzuschreiben kommt nichts bei raus...
2.
Ich kann zeigen dass ker f nur = im f sein kann, wenn n gerade ist.
dim V = dim ker f + rg f, also auch dim ker f + dim im f
wenn ker f und im f gleich wären, hätten sie doch auch die gleiche Dimension und dann wäre x+x=2x und somit auf jeden Fall gerade.
Aber die Aufgabenstellung möchte das ja genau andersherum...
Ich bedank mich schon mal für die Hilfe! Von den Aufgaben hängt viel ab, ich brauche noch unbedingt die Punkte...
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Hallo s222,
zu Deiner ersten Frage:
Vermutlich soll bei Dir eine obere Dreiecksmatrix eine solche sein, bei der auf der
Diagonalen nur Eintraege 0 stehen, oder ?
Dann ist aber [mm] (A\cdot A)_{i,j}=\sum_{k=1}^n A_{ik}\cdot A_{kj}, [/mm]
und obere Dreiecksmatrix heisst ja nach obigem, dass fuer [mm] i\leq j\:\: A_{ij}=0 [/mm] gilt,
also bei obiger Summe 0 herauskommt fuer [mm] i\leq [/mm] j+1
(fuer [mm] i\leq [/mm] j+1 ist fuer [mm] i\leq k\:\: A_{ik}=0 [/mm] und fuer [mm] k\leq [/mm] j [mm] \:\: A_{kj}=0 [/mm] , und fuer [mm] i\leq [/mm] j+1
gilt fuer jedes [mm] k\in\{1,\ldots , n\} [/mm] mindestens eine der Bedingungen [mm] i\leq [/mm] k oder [mm] k\leq [/mm] j, so dass also jeder Summand = 0 ist.
Allgemein kann man zeigen, dass, wenn A eine Matrix ist, die nur rechts oberhalb von
der d-ten oberen Nebendiagonalen Eintraege ungleich 0 hat und B eine rechte obere
Dreiecksmatrix ist
(d.h. [mm] A_{ij}=0 [/mm] fuer [mm] i\leq [/mm] j+d und [mm] B_{ij}=0 [/mm] fuer [mm] i\leq [/mm] j), dass dann [mm] A\cdot [/mm] B =: C
nur oberhalb der (d+1)-ten oberen Nebendiag. Eintraege ungleich 0 hat, dh.
[mm] C_{ij}=0 [/mm] fuer [mm] i\leq [/mm] j+d+1.
Beweis:
[mm] C_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}
[/mm]
und man prueft, dass laut Vorauss. fuer [mm] i\leq [/mm] j+d+1 fuer jeden Summanden mit
Index k mindestens eine der Zahlen [mm] A_{ik}, B_{kj} [/mm] den Wert 0 hat.
Damit ist dann tatsaechlich fuer eine obere Dreiecksmatrix A die Gleichung [mm] A^n=0 [/mm] wahr.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:36 Di 31.01.2006 | | Autor: | s222 |
Das erste was du schreibst habe ich verstanden. Allerdings ist glaube ich in meiner Aufgabe doch i [mm] \gej \Rightarrow [/mm] Aij=0 gemeint... aber das müsste ich dann jetzt auch hinbekommen...
Was meinst du aber genau mit d? Einfach nur die Diagonale über der mittleren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Di 31.01.2006 | | Autor: | s222 |
Ich werd die zweite Frage noch mal extra stellen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Do 02.02.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo s222!
Leider konnte dir keiner, innerhalb der von dir vorgegebenen Zeit, deine Frage beantworten. Nun muss ich sie für Interessierte markieren.
Falls ich die Fälligkeit verlängern sollte, schreibe bitte eine private Nachricht an mich!
Vielleicht hast du nächstes Mal mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Liebe Grüße
PStefan
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