Dreiecksungl. Komplexe Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr, könnt ihr uns vll. bei dieser Aufgabe helfen?
Man zeige, dass die Abstandsfunktion
d(z,w):= [mm] \wurzel{(x-u)^{2}+(y-v)^{2}} [/mm]
für z=x+iy und w=u+iv [mm] \in \IC [/mm] die Eigenschaft Dreiecksungleichung erfüllt.
Unsere Ideen:
1. d(z,w) [mm] \le [/mm] d(z,a)+d(a,w) mit a=b+ic
[mm] \Rightarrow \wurzel{(x-u)^{2}+(y-v)^{2}} \le \wurzel{(x-b)^{2}+(y-c)^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{(b-u)^{2}+(c-v)^{2}}
[/mm]
Nach auflösen hatten wir auf der einen Seite der Ungleichung in der klammer, die wir zum quadrat nehmen mussten, 8 unbekannte und auf der anderen seite einzelne "Quadratpackete" ;)
das schien uns falsch.
2. Unsere zweite Idee war a=0 zu setzen ,
d(z,w) [mm] \le [/mm] d(z,0)+d(0,w)
[mm] \Rightarrow \wurzel{(x-u)^{2}+(y-v)^{2}} \le \wurzel{(x)^{2}+(y)^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{(u)^{2}+(v)^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] yu [mm] \le [/mm] xv
Wenn das richtig ist.. was sagt uns das Ergebnis dann?
Oder haben wir einen völlig falschen Ansatz?
In der Uni haben wir mit einer Zeichnung gezeigt, dass die Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen gilt, aber das reicht ja nicht als Beweis aus, oder?
Über Tipps wären wir sehr dankbar.
Liebe Grüße
Sveni und Sarah
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Soso? Aber sei's drum.
Es ist rechentechnisch etwas einfacher, für beliebige komplexe Zahlen
[mm]z = x + \operatorname{i}y \, , \ \ w = u + \operatorname{i}v[/mm]
zunächst die folgende Form der Dreiecksungleichung zu zeigen:
(*) [mm]\left| z + w \right| \leq |z| + |w|[/mm]
Später ist in dieser Ungleichung [mm]z[/mm] durch [mm]z-a[/mm] und [mm]w[/mm] durch [mm]a-w[/mm] zu ersetzen. Das gibt dann die zu beweisende Ungleichung.
Um (*) zu zeigen, wird die Ungleichung quadriert (ist erlaubt, da beide Seiten nichtnegativ reell sind) und äquivalent umgeformt. Es ist nützlich, mit der komplexen Konjugation zu arbeiten:
[mm]|z|^2 = z \cdot \bar{z}[/mm]
Die Konguation ist mit den rationalen Operationen verträglich:
[mm]\overline{z \pm w} = \bar{z} \pm \bar{w}[/mm]
[mm]\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}[/mm]
[mm]\overline{\left( \frac{z}{w} \right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{w}}[/mm]
Das erleichtert den Formelkram etwas.
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hallo, wir haben es versucht, so wie du es sagtest.
einmal haben wir versucht die anfangsgleichung [mm]\left| z + w \right| \leq |z| + |w|[/mm]
zu quadrieren. wir erhielten :
2zw [mm] \le [/mm] 0 oder w [mm] \bar{z} \le [/mm] - z [mm] \bar{w}
[/mm]
wir haben den 2. teil wie du sagtest ersetzt durch (z - a) und ( a - w) und bekamen wieder nur sehr lange Terme heraus, die man später nicht weiter kürzen konnte.
Dann haben wir versucht, erst die klammern einzusetzen und dann zu quadieren und durch die konjugation zu schreiben, wir erhileten:
(u + iv)(x + iy) [mm] \le [/mm] (b + ic)(-x - iy - u - iv) + [mm] b^{2} [/mm] + [mm] c^{2} [/mm]
scheint uns alles nicht sonderlich sinnvoll zu sein.
haben wir dich irgendwie falsch verstanden?
kannst du unseren fehler evtl. korrigieren?
liebe grüße, sarah & sveni
> P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Soso? Aber sei's drum.
-> diesen satz muss man (als newbie?) unter die frage schreiben, da sie sonst nicht veröffentlicht wird!!!
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Wenn [mm]\left| z+w \right| \leq |z| + |w|[/mm] bewiesen ist, ist man fertig. Denn mit den Substitutionen [mm]z \leftrightarrow z-a[/mm] und und [mm]w \leftrightarrow a-w[/mm] ist man am Ziel. Da ist nichts mehr zu tun. Fertig.
Nun aber zum Beweis von [mm]\left| z+w \right| \leq |z| + |w|[/mm].
Quadrieren und weiteres äquivalentes Umformen liefert nacheinander die Ungleichungen
[mm]\left| z+w \right|^2 \leq \left( |z| + |w| \right)^2[/mm]
[mm](z+w) \overline{(z+w)} \leq |z|^2 + |w|^2 + 2 \, |z| \, |w|[/mm]
[mm](z+w)(\bar{z} + \bar{w}) \leq |z|^2 + |w|^2 + 2 \, |z| \, |w|[/mm]
[mm]z \, \bar{z} + w \, \bar{w} + \bar{z} \, w + z \, \bar{w} \leq |z|^2 + |w|^2 + 2 \, |z| \, |w|[/mm]
[mm]|z|^2 + |w|^2 + \bar{z} \, w + \overline{\bar{z} \, w} \leq |z|^2 + |w|^2 + 2 \, |z| \, |w|[/mm]
[mm]2 \, \Re{(\bar{z}w)} \leq 2 \, |z| \, |w|[/mm]
Hier wurde die Regel [mm]z + \bar{z} = 2 \, \Re{z}[/mm] verwendet ([mm]\Re[/mm] bezeichnet den Realteil). Jetzt müßt ihr also noch
[mm]\Re{(\bar{z}w)} \leq |z| \, |w|[/mm]
zeigen, dann seid ihr fertig. Und da empfehle ich ein nochmaliges Quadrieren und direktes Rechnen mit [mm]x,y,u,v[/mm], den Real- bzw. Imaginärteilen von [mm]z[/mm] und [mm]w[/mm]. Aber etwas Vorsicht! Hier könnte die linke Seite negativ sein.
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