Dreifachintegral Polarkoordin. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Di 27.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | | Man berechne das Integral [mm] \integral \integral \integral_{B}{x dx dy dz}, [/mm] wobei der Bereich B von dem Paraboloid [mm] x=4y^2+4z^4 [/mm] und der Ebene x=4 begrenzt wird! |
Hallo!
Habe verusucht, dieses Beispiel mittels Koordinatentransformation zu lösen und wollte nun fragen, ob der Lösungsweg soweit richtig ist:
1) Bereichsgrenzen festlegen:
Wenn ich das Paraboliod [mm] x=4y^2+4z^4 [/mm] mit der Ebene x=4 schneide, erhalte ich eine Kreisscheibe in der y - z - Ebene:
![[]](/images/popup.gif) [Externes Bild http://img3.fotos-hochladen.net/thumbnail/beispiel55cv5u2n0agmq_thumb.jpg]
Führe ich nun eine Koordinatentransformation mittels z=r*cos [mm] (\nu), [/mm] y= [mm] r*sin(\nu) [/mm] und [mm] x=4*r^2 [/mm] (errechnet aus der Gleichung des Paraboloides) würde ich folgenden Bereich D erhalten:
[mm] D{(r,\nu,z)|0 \le r \le 1, 0 \le \nu \le 2\pi, 4*r^2 \le z \le 4}
[/mm]
Soweit richtig??
2) Integral ermitteln:
[mm] \integral \integral \integral_{B}{x dx dy dz} [/mm] = [mm] \integral \integral \integral_{D}{4*r^2*r dr d\nu dz} [/mm] = [mm] \integral_{r=0}^{1} \integral_{\nu=0}^{2\pi}\integral_{z=4*r^2}^{4}{4*r^3 dz d\nu dr}
[/mm]
Die Auswertung des Integrales ergibt nun [mm] \bruch{8\pi}{3}
[/mm]
Bin mir allerdings, wie gesagt, nicht sicher, ob die Koordinatentransformation zu 100 % richtig ist!
Danke für eure Hilfe!
Mfg
|
|
| |
|
Hallo mike1988,
> Man berechne das Integral [mm]\integral \integral \integral_{B}{x dx dy dz},[/mm]
> wobei der Bereich B von dem Paraboloid [mm]x=4y^2+4z^4[/mm] und der
> Ebene x=4 begrenzt wird!
Falls es sich um ein Paraboloid als Begrenzungsfläche handelt,
dann muss die Gleichung doch
[mm]x=4y^2+4z^{\blue{2}}[/mm]
lauten.
> Hallo!
>
> Habe verusucht, dieses Beispiel mittels
> Koordinatentransformation zu lösen und wollte nun fragen,
> ob der Lösungsweg soweit richtig ist:
>
> 1) Bereichsgrenzen festlegen:
>
> Wenn ich das Paraboliod [mm]x=4y^2+4z^4[/mm] mit der Ebene x=4
> schneide, erhalte ich eine Kreisscheibe in der y - z -
> Ebene:
>
> [Externes Bild http://img3.fotos-hochladen.net/thumbnail/beispiel55cv5u2n0agmq_thumb.jpg]
>
> Führe ich nun eine Koordinatentransformation mittels
> z=r*cos [mm](\nu),[/mm] y= [mm]r*sin(\nu)[/mm] und [mm]x=4*r^2[/mm] (errechnet aus der
> Gleichung des Paraboloides) würde ich folgenden Bereich D
> erhalten:
>
> [mm]D{(r,\nu,z)|0 \le r \le 1, 0 \le \nu \le 2\pi, 4*r^2 \le z \le 4}[/mm]
>
Anstatt "z" sollte doch wohl ein "x" stehen.
> Soweit richtig??
>
Bis auf den Schreibfehler., ja.
> 2) Integral ermitteln:
>
> [mm]\integral \integral \integral_{B}{x dx dy dz}[/mm] = [mm]\integral \integral \integral_{D}{4*r^2*r dr d\nu dz}[/mm]
Das ist nicht richtig.
[mm]\integral \integral \integral_{B}{x dx dy dz}[/mm] = [mm]\integral \integral \integral_{D}{\blue{x}*r dr d\nu dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{r=0}^{1} \integral_{\nu=0}^{2\pi}\integral_{z=4*r^2}^{4}{4*r^3 dz d\nu dr}[/mm]
>
> Die Auswertung des Integrales ergibt nun [mm]\bruch{8\pi}{3}[/mm]
>
> Bin mir allerdings, wie gesagt, nicht sicher, ob die
> Koordinatentransformation zu 100 % richtig ist!
>
> Danke für eure Hilfe!
>
> Mfg
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Di 27.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Hallo!
> Falls es sich um ein Paraboloid als Begrenzungsfläche
> handelt,
> dann muss die Gleichung doch
>
> [mm]x=4y^2+4z^{\blue{2}}[/mm]
>
> lauten.
Natürlich! Kleiner Tippfehler!
>
> [mm]\integral \integral \integral_{B}{x dx dy dz}[/mm] = [mm]\integral \integral \integral_{D}{\blue{x}*r dr d\nu dx}[/mm]
>
>
Ich dachte, wenn ich eine Koordinatentransformation durchführe, muss ich auch den zu integrierenden Therm auch "transformieren", d.H.: x wird zu [mm] 4*r^2??
[/mm]
DANKE!
|
|
|
| |
|
Hallo mike1988,
> Hallo!
>
>
> > Falls es sich um ein Paraboloid als Begrenzungsfläche
> > handelt,
> > dann muss die Gleichung doch
> >
> > [mm]x=4y^2+4z^{\blue{2}}[/mm]
> >
> > lauten.
>
> Natürlich! Kleiner Tippfehler!
>
> >
> > [mm]\integral \integral \integral_{B}{x dx dy dz}[/mm] = [mm]\integral \integral \integral_{D}{\blue{x}*r dr d\nu dx}[/mm]
> >
> >
> Ich dachte, wenn ich eine Koordinatentransformation
> durchführe, muss ich auch den zu integrierenden Therm auch
> "transformieren", d.H.: x wird zu [mm]4*r^2??[/mm]
>
Nein, der integrierende Term muss nicht transformiert werden.
> DANKE!
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Di 27.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Ahhhh, gut zu wissen! Besten Dank hierfür!
In diesem ZUsammenhang noch kurz eine weitere Frage zu einem anderen Beispiel:
Gegeben: [mm] \integral_{y=0}^{1} \integral_{x=0}^{\wurzel{1-y^2}}{cos(x^2+y^2) dx dy}
[/mm]
Dieses Integral soll nun mittels Polarkoordinaten berechnet werden!
Hier muss ich ja nun doch den Integranden transformieren, da ich sonst in den Grenzen r und [mm] \nu [/mm] stehen habe, welche im Integranden nicht vorkommen!?!?
DANKE
|
|
|
| |
|
Hallo mike1988,
> Ahhhh, gut zu wissen! Besten Dank hierfür!
>
> In diesem ZUsammenhang noch kurz eine weitere Frage zu
> einem anderen Beispiel:
>
> Gegeben: [mm]\integral_{y=0}^{1} \integral_{x=0}^{\wurzel{1-y^2}}{cos(x^2+y^2) dx dy}[/mm]
>
> Dieses Integral soll nun mittels Polarkoordinaten berechnet
> werden!
>
> Hier muss ich ja nun doch den Integranden transformieren,
> da ich sonst in den Grenzen r und [mm]\nu[/mm] stehen habe, welche
> im Integranden nicht vorkommen!?!?
>
Der Integrand ist hier zu transformieren, da auf x und y Polarkoordinaten angewendet werden.
> DANKE
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Di 27.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Und wenn ich die Transformation nur auf x anwende, brauche ich dieses nicht zu transformieren??
Bzw. was wäre, wenn der Integrand = y wäre??
Stehe irgendwie gerade auf der Leitung!
DANKE
|
|
|
| |
|
Hallo mike1988,
> Und wenn ich die Transformation nur auf x anwende, brauche
> ich dieses nicht zu transformieren??
>
> Bzw. was wäre, wenn der Integrand = y wäre??
>
Fakt ist doch, daß auf x und y Polarkoordinaten angewendet werden.
Daher sind x und y, falls diese im Integranden stehen, auch zu transformieren.
> Stehe irgendwie gerade auf der Leitung!
>
> DANKE
Gruss
MathePower
|
|
|
|
![[]](http://www.fotos-hochladen.net/view/beispiel55cv5u2n0agmq.jpg){kind=small}
[Externes Bild http://img3.fotos-hochladen.net/thumbnail/beispiel55cv5u2n0agmq_thumb.jpg]
