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Hallo,
wir schreiben morgen eine Klausur und wahrscheinlich kommt diese Aufgabe dran, also am besten schnell und wenns möglich ist vollständig antworten.
Hier die Aufgabe:
Sei G eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e und
U:={g [mm] \in [/mm] G| [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN: g^{n}=e [/mm] }
Zeige: U ist eine Untergruppe von G
Ich hoffe auf eine schnelle Antwort.
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich würde mir an deiner Stelle mal die Bedingungen angucken, die erfüllt sein müssen, damit eine Gruppe eine Untergruppe von einer anderen ist. Dann dürfte die Aufgabe eigentlich nicht weiter schwierig sein.
MfG
Bastiane
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Ich hab mir die Bedingungen angeguckt, aber wie soll man z.B. falls a,b [mm] \in [/mm] U gilt, wie berechnet man z.B. (a [mm] \circ b)^{n} [/mm]
Sag mal wie du das rechnen würdest + weitere Lösungen...weil ich finde die nicht so einfach zu lösen.
MfG Andi
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Hallo nochmal!
Also, mmh...........
> Ich hab mir die Bedingungen angeguckt, aber wie soll man
> z.B. falls a,b [mm]\in[/mm] U gilt, wie berechnet man z.B. (a [mm]\circ b)^{n}[/mm]
Wenn du die Bedingungen angeguckt hast, wäre es schön gewesen, wenn du sie nochmal richtig hier hingeschrieben hast. Ich weiß sie nämlich dummerweise nicht mehr auswendig (ich weiß, dass ich nicht gut ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") ) und ich habe leider nur ein einziges LA Buch hier und ich habe auch keine Lust noch groß woanders danach zu suchen. Also, in meinem Buch hier finde ich nur was zum Untervektorraum, aber das ist ja im Prinzip das Gleiche:
[mm] x,y\in [/mm] U [mm] \Rightarrow x+y\in [/mm] U
[mm] c\in [/mm] K, [mm] x\in [/mm] U [mm] \Rightarrow cx\in [/mm] U
Da du leider deine Aufgabe hier nicht mehr stehen hast, mache ich jetzt hier mal Schluss und gucke mir deine Aufgabe in der anderen Frage nochmal an. Mal sehen, ob ich helfen kann...
Viele Grüße
Bastiane
>
> Sag mal wie du das rechnen würdest + weitere
> Lösungen...weil ich finde die nicht so einfach zu lösen.
>
> MfG Andi
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Es gelten folgende Bedingungen für Untergruppen:
wenn a und b [mm] \in [/mm] Untergruppe dann a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] H
zudem a [mm] \in [/mm] H=> [mm] a^{-1} \in [/mm] H
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Okay, nehmen wir mal "meine" Definition einer Untergruppe...
> Sei G eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e und
>
> U:={g [mm]\in[/mm] G| [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN: g^{n}=e\}[/mm]
> Zeige: U ist eine Untergruppe von G
Also, als erstes ist [mm] \{\{\}\} [/mm] keine Untergruppe, das heißt wir müssen gucken, ob [mm] U\not=\{\{\}\}.
[/mm]
Nun ist in der Menge U auf jeden Fall ein Element, so dass [mm] g^n=e, [/mm] denn für g=e gilt [mm] g^1=e^1=e [/mm] - also ist die Menge nicht leer, da sie mindestens das Element e enthält (denn für e existiert ja ein n, nämlich n=1, so dass die Eigenschaft von U gilt).
Nun müssen wir gucken, ob die Verknüpfung zweier Elemente aus U wieder in U liegt. Wir nehmen also [mm] x\in [/mm] U, also [mm] \exists [/mm] n mit [mm] x^n=e [/mm] und [mm] y\in [/mm] U, also [mm] \exists [/mm] m mit [mm] y^m=e.
[/mm]
So, und jetzt weiß ich irgendwie gerade nicht weiter. Hast du denn eigentlich eine Verknüpfung der Gruppe gegeben? Ist es eine additive oder multiplikative Gruppe oder was? Aber im Moment weiß ich auch nicht so ganz, wie man danach weiter macht - sorry. Hab' gerade irgendwie ein Brett vorm Kopf ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") .
Vielleicht weiß ja ein anderer weiter oder mir fällt nachher noch was ein.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Hier ein paar Denkanstöße:
== Da für alle [mm] $g\in [/mm] G$ die Ordnung von $g$ der Ordnung von [mm] $g^{-1}$ [/mm] entspricht, liegen entweder $g$ und [mm] $g^{-1}$ [/mm] oder keines von beiden Elementen in U.
== Das neutrale Element liegt wegen [mm] $e^1=e$ [/mm] in U
== Da für eine ablsche Gruppe [mm] $ord(a\circ b)=ord(a)\cdot [/mm] ord(b)$ gilt und die Ordnungen von [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] nach Definition existieren und endlich sind, muss auch [mm] $ord(g_1\circ g_2)$ [/mm] existieren und endlich sein.
Liebe Grüße,
Hanno
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> Sei G eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e und
>
> [mm] $U:=\{g \in G| \exists n \in \IN: g^{n}=e\}$
[/mm]
> Zeige: U ist eine Untergruppe von G
die Bedingungen, die zu zeigen sind, sind ja nun klar:
a) [mm] $U\not=\{\}$ [/mm] (an Bastiane: Warum schreibst du [mm] $U\not=\{\red{\{\}}\}$?)
[/mm]
b) [mm] $a,b\in [/mm] U$ [mm] $\Rightarrow$ $a\circ b\in [/mm] U$
c) [mm] $a\in [/mm] U$ [mm] $\Rightarrow$ $a^{-1}\in [/mm] U$
(Das ist eine Möglichkeit, die Untergruppeneigenschaft nachzuweisen, es gibt natürlich noch weitere.)
a) Das hat Bastiane ja schon gezeigt.
b) Bastiane hat begonnen:
Sei [mm] $a,b\in [/mm] U$ [mm] $\Rightarrow$ $\exists n,m\in\IN$ [/mm] so dass [mm] $a^n=e$ [/mm] und [mm] $b^m=e$.
[/mm]
Nun behaupte ich [mm] $(a\circ b)^{n*m}\in [/mm] U$ (Es gilt sogar [mm] $(a\circ b)^{\kgV(n,m)}\in [/mm] U$, korrigiert)
Zum Beweis mußt du dir nur das Element mal hinschreiben
[mm] $(a\circ b)^{n*m}$
[/mm]
[mm] $=\underbrace{(a\circ b)\circ\ldots\circ(a\circ b)}_{n*m \mbox{\scriptsize Mal}}$
[/mm]
Nun gebe ich nur noch einen Tipp: G ist abelsch!
c) Sei [mm] $a\in [/mm] U$
Zu zeigen ist: Es existiert ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] so dass [mm] $\left(a^{-1}\right)^n=e$.
[/mm]
Nun gilt aber [mm] $a^n=e$ [/mm] für ein n
[mm] $\Rightarrow$ $(a^{-1})^n\circ a^n=(a^{-1})^n\circ [/mm] e$
[mm] $\Rightarrow$ $e=(a^{-1})^n$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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Könntet ihr das mal komplett ausführen, denn wir schreiben morgen eine Klausur...nur damit ich mal den kompletten Beweis gesehen habe.
Wäre echt nett und alleine komme ich nicht weiter.
MfG Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker,
> Könntet ihr das mal komplett ausführen, denn wir schreiben
> morgen eine Klausur...nur damit ich mal den kompletten
> Beweis gesehen habe.
Es bleibt nur b) weiterzuführen.
Wir hatten:
[mm] $\ldots$
[/mm]
[mm] $=\underbrace{(a\circ b)\circ\ldots\circ(a\circ b)}_{n*m\mbox{\scriptsize Mal}}$
[/mm]
G ist abelsch, die Reihenfolge der Verknüpfung kann also beliebig verändert werden:
[mm] $=a^{n*m}\circ b^{n*m}$
[/mm]
[mm] $=(a^n)^m\circ (b^m)^n$
[/mm]
[mm] $=e^m\circ e^n$
[/mm]
$=e$ w.z.b.w.
Viele Grüße,
Marc
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