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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Paige |
| Aufgabe | | Bestimme die zu A = {(-2, 1, 3), (1, - 1/2, 1/3), (-1, 1, 1/2) } Duale Basis des [mm] IR ^3 [/mm]. |
Hi!
Ich bräuchte mal Hilfe bei dem Begriff "Duale Basis" und bei der Aufgabe. Ich kann mir noch nicht genau vorstellen, was genau ein Dualraum ist, bzw. was jetzt die Du ale Basis ist. Da gilt, dass die Dimension des Dualen Raums gleich der Dimension des zugehörigen Vektorraums ist, muss die duale Basis vom [mm] IR ^3 [/mm] ja auch 3 Basisvektoren haben.
Ich habe dann versucht mit der Definition der dualen Basis, die Aufgabe zu lösen. Aber ich habe Schwierigkeiten diese darauf anzuwenden. Sie sagt aus, dass [mm] v_{i}^\*(v_{j}) = \delta_{ij} [/mm] mit 1 für i = j und 0 für i [mm] \ne [/mm] j.
Ich hab mir dann gedacht, ich stelle dann die gegebenen Vektoren mit den kanonischen Einheitsvektoren dar. Wenn ich dann die Definition anwende (so wie ich sie verstanden habe), erhalte ich z.B. für [mm] v_{1}^\*(v_{1}) = - 2 [/mm] (da ja (-2,1,3) = [mm] - 2 e_{1} + e_{2} + 3 e_{3} [/mm] ), für [mm] v_{1}^\*(v_{2}) = 1 [/mm] usw.
Dann erhalte ich die drei Vektoren (-2, 1, -1), (1, -1/2, 1) und (1, 1/3, 1/2). Bei der Lösung der Aufgabe habe ich versucht mich an einem Beispiel zu orientieren, dass ich in einem Buch gefunden habe (aber nicht 100 %-ig nachvollziehen konnte).
Ich glaube aber, dass ich die Definition falsch angewendet bzw. verstanden habe. Ich würde mich freuen, wenn sie jemand erbarmen könnte, mir das mal zu erklären. Und ihr könnt mir auch sagen, dass ich totalen Mist gebaut habe und dass das was ich gemacht nicht nachzuvollziehen ist.
Vielen Dank jetzt schon mal für die Hilfe und hoffentlich für ein aufgehendes Licht.
Lieben Gruß
Paige
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Hallo Paige,
der Dualraum ist ja der Raum aller linearen Abb. von V nach K,
und die Definition der zu einer gegebenen Basis dualen Basis hast Du richtig hingeschrieben.
Im allgemeinen muss man also zu gegebener Basis [mm] v_1,..,v_n [/mm] von V fuer jedes Element der dualen Basis [mm] v_j^* [/mm] ein Lineares GlSystem loesen:
[mm] v_j^* (v_i)= \delta_{ij}
[/mm]
In Deinem Bsp:
[mm] v_1^* [/mm] = [mm] (v_{11}^*,v_{12}^*,v_{13}^*) [/mm] mit
[mm] -2v_{11}^* [/mm] + [mm] 1\cdot v_{12}^* [/mm] +3 [mm] \cdot v_{13}^* [/mm] = 1
[mm] 1\cdot v_{11}^* -\bruch{1}{2}\cdot v_{12}^*+\bruch{1}{3}\cdot v_{13}^*=0
[/mm]
[mm] (-1)\cdot v_{11}^* [/mm] + [mm] 1\cdot v_{12}^* +\bruch{1}{2}\cdot v_{13}^* [/mm] =0
usw. fuer die anderen dualen Vektoren.
Ich hoffe, das hilft Dir weiter.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Paige |
Hi!
Vielen Dank für deine Hilfe. Das hat mir echt geholfen.
Noch ne kleine Rückversicherung: Für die beiden anderen dualen Vektoren gelten doch die folgenden GLS, oder?
[mm]-2v^{\*}_{11}+ v^{\*}_{12}+3v^{\*}_{13}=0[/mm]
[mm] v^{\*}_{21}-\bruch{1}{2} v^{\*}_{22}+\bruch{1}{3}v^{\*}_{23}=1[/mm]
[mm] -v^{\*}_{31}+ v^{\*}_{32}+\bruch{1}{2}v^{\*}_{33}=0[/mm]
und
[mm]-2v^{\*}_{11}+ v^{\*}_{12}+3v^{\*}_{13}=0[/mm]
[mm] v^{\*}_{21}-\bruch{1}{2} v^{\*}_{22}+\bruch{1}{3}v^{\*}_{23}=0[/mm]
[mm] -v^{\*}_{31}+ v^{\*}_{32}+\bruch{1}{2}v^{\*}_{33}=1[/mm]
Wenn die GLS stimmen, dann hab ich es wirklich kapiert.
Vielen Lieben Dank noch mal für die schnelle Hilfe.
LG
Paige
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Hallo Paige,
absolut richtig, bis auf die Bezeichnung/Indizierung der Variablen, aber ich denke, das ist Dir klar 
Viele Gruesse,
Mathias
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hi matthias,
wie wäre denn die richtige indizierung,etwa sowie du das für
[mm] v_{1} [/mm] schon gegeben hast? wie sieht das dann aus?
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> hi matthias,
> wie wäre denn die richtige indizierung,etwa sowie du das
> für
> [mm]v_{1}[/mm] schon gegeben hast? wie sieht das dann aus?
Hallo,
ich habe das jetzt nicht genauer studiert, aber ich denke doch, daß es für [mm] v_2^{\*} [/mm] heißen muß
$ [mm] -2v^{*}_{\red{2}1}+ v^{*}_{\red{2}2}+3v^{*}_{\red{2}3}=0 [/mm] $
$ [mm] v^{*}_{21}-\bruch{1}{2} v^{*}_{22}+\bruch{1}{3}v^{*}_{23}=1 [/mm] $
$ [mm] -v^{*}_{\red{2}1}+ v^{*}_{\red{2}2}+\bruch{1}{2}v^{*}_{\red{2}3}=0 [/mm] $.
Gruß v. Angela
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danke angela,es sieht logischer aus.
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