Duale Basis reeller Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Sa 21.03.2009 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum der reellen Polynome, die höchstens den Grad 2 besitzen und sei [mm] (1,x,x^2) [/mm] eine Basis von V. Weiterhin sei f [mm] \in [/mm] V* gegeben durch [mm] f(p)=\int_0^1 [/mm] p(x)*dx.
Schreiben Sie f als Linearkombination der dualen Basis B*.
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Hallo,
ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll. Ich kenne zwar die Definition der dualen Basis mit Hilfe des Kroneckerdeltas, weiß aber nicht, wie ich die Definition hier konkret anwenden soll.
Soll ich in f zuerst eimal die Basisvektoren einsetzen?
Ich würde mich über Ratschläge sehr freuen.
Viele Grüße!
- Kevin -
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> Sei V der Vektorraum der reellen Polynome, die höchstens
> den Grad 2 besitzen und sei [mm](1,x,x^2)[/mm] eine Basis von V.
> Weiterhin sei f [mm]\in[/mm] V* gegeben durch [mm]f(p)=\int_0^1[/mm]
> p(x)*dx.
> Schreiben Sie f als Linearkombination der dualen Basis
> B*.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum
> gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll. Ich kenne
> zwar die Definition der dualen Basis mit Hilfe des
> Kroneckerdeltas, weiß aber nicht, wie ich die Definition
> hier konkret anwenden soll.
> Soll ich in f zuerst eimal die Basisvektoren einsetzen?
Hallo,
wenn Du die Def. kennst, ist doch schon viel gewonnen.
Ja, setze doch in f erstmal die Basisvektoren ein, damit hast Du dann schonmal die Darstellungsmatrix von f. (Es ist eine 1x3-Matrix).
Nun zu der dualen Basis. Dir ist klar, daß sie aus drei Linearformen besteht?
Versuch doch mal, auch für die Basis-Linearformen die Darstellungsmatrizen aufzustellen. Auch diese bekommst Du durchs Einsetzen der drei Basisvektoren von V.
Wenn Du hierbei nicht zurecht kommst, poste bei Rückfragen mal die Def. der dualen Basis mit.
Gruß v. Angela
> Ich würde mich über Ratschläge sehr freuen.
>
> Viele Grüße!
> - Kevin -
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Sa 21.03.2009 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo Angela,
danke für deine Antwort.
Wenn ich in f die Basisvektoren nacheinander einsetze erhalte ich:
f(1) = [mm] \int_0^1 [/mm] 1*dx = 1
f(x) = [mm] \int_0^1 [/mm] x*dx = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f(x^2)=\int_0^1 x^2*dx [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Dann lautet die Darstellungsmatrix von f:
[mm] \pmat{ 1 & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3} }
[/mm]
So, nun zur dualen Basis.
[mm] \text{Definition:} \\ [/mm] B= [mm] (v_1 ,...,v_n ){\text{ sei eine Basis von }}V.{\text{ Dann ist }}B^\* [/mm] = [mm] (v_1^\* ,...,v_n^\* ){\text{ eine Basis von }}V^\* ,{\text{ wenn}} \hfill \\
[/mm]
[mm] v_i^\* [/mm] :V [mm] \to K{\text{ die Linearform bezeichnet}}{\text{, die mittels linearer Fortsetzung durch }}v_i^\* (v_j) =\delta_{ij} {\text{ definiert wird}}{\text{.}} \hfill \\
[/mm]
[mm] B^\* {\text{ hei{\ss}t duale Basis zu }}B{\text{.}} \hfill \\ [/mm]
Ich weiß wie gesagt, was das Kroneckersymbol bedeutet, nämlich [mm] v_i^\*(v_j) [/mm] = 1, wenn i=j und [mm] v_i^\*(v_j)=0, [/mm] wenn [mm] i\not=j.
[/mm]
[mm] v_i^\* [/mm] ist ja eine Abbildung von einem Vektorraum in einen Körper und zugleich auch ein Vektor. Die Basisvektoren von [mm] V^\* [/mm] sind Funktionen und das ist ein wenig ungewohnt für mich.
[mm] v_1^\*(v_1) [/mm] = 1
[mm] v_1^\*(v_2) [/mm] = 0
[mm] v_1^\*(v_3) [/mm] = 0
etc.
Und da komme ich leider nicht mehr weiter, weil ich nicht weiß, was [mm] v_1^\*(v_1) [/mm] genau bedeutet. Ich glaube, dass es bedeutet, dass die Linearform [mm] v_1^\* [/mm] auf den Vektor [mm] v_1 [/mm] angewandt wird, so wie z. B. eine Funktion [mm] g(x)=x^2+5x [/mm] auf x=2 angewandt wird. Da kommt dann eine Zahl heraus und die ist im Fall [mm] v_1^\*(v_1) [/mm] 1 weil die Indizes gleich sind. Aber wie sehen diese Linearformen konkret aus und wie komme ich an die duale Basis?
Viele Grüße
Kevin
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> Wenn ich in f die Basisvektoren nacheinander einsetze
> erhalte ich:
> f(1) = [mm]\int_0^1[/mm] 1*dx = 1
> f(x) = [mm]\int_0^1[/mm] x*dx = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]f(x^2)=\int_0^1 x^2*dx[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Dann lautet die Darstellungsmatrix von f:
> [mm]\pmat{ 1 & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3} }[/mm]
Hallo,
ja, genau.
>
> So, nun zur dualen Basis.
>
> [mm]\text{Definition:} \\[/mm] B= [mm](v_1 ,...,v_n ){\text{ sei eine Basis von }}V.{\text{ Dann ist }}B^\*[/mm]
> = [mm](v_1^\* ,...,v_n^\* ){\text{ eine Basis von }}V^\* ,{\text{ wenn}} \hfill \\[/mm]
>
> [mm]v_i^\*[/mm] :V [mm]\to K{\text{ die Linearform bezeichnet}}{\text{, die mittels linearer Fortsetzung durch }}v_i^\* (v_j) =\delta_{ij} {\text{ definiert wird}}{\text{.}} \hfill \\[/mm]
>
> [mm]B^\* {\text{ hei{\ss}t duale Basis zu }}B{\text{.}} \hfill \\[/mm]
>
> Ich weiß wie gesagt, was das Kroneckersymbol bedeutet,
> nämlich [mm]v_i^\*(v_j)[/mm] = 1, wenn i=j und [mm]v_i^\*(v_j)=0,[/mm] wenn
> [mm]i\not=j.[/mm]
>
> [mm]v_i^\*[/mm] ist ja eine Abbildung von einem Vektorraum in einen
> Körper und zugleich auch ein Vektor.
Ja, als Element eines Vektorraumes ist [mm] v_i^\* [/mm] ein Vektor.
> Die Basisvektoren von
> [mm]V^\*[/mm] sind Funktionen
Ja. Lineare Funktionen, welche von V nach [mm] \IR [/mm] abbilden.
> und das ist ein wenig ungewohnt für
> mich.
Ja, das ist am Anfang ungewohnt für nahezu jeden.
>
> [mm]v_1^\*(v_1)[/mm] = 1
> [mm]v_1^\*(v_2)[/mm] = 0
> [mm]v_1^\*(v_3)[/mm] = 0
Hiermit kennst Du die Werte des ersten Basisvektors, und Du kannst nun seine Darstellungsmatrix bzgl. der kanonischen Basis [mm] (1,x,x^2) [/mm] aufstellen.
Nun wende wieder die Def. an und erobere Dir nioch den 2. und 3. Basisvektor.
> etc.
>
> Und da komme ich leider nicht mehr weiter, weil ich nicht
> weiß, was [mm]v_1^\*(v_1)[/mm] genau bedeutet. Ich glaube, dass es
> bedeutet, dass die Linearform [mm]v_1^\*[/mm] auf den Vektor [mm]v_1[/mm]
> angewandt wird,
Genau.
> so wie z. B. eine Funktion [mm]g(x)=x^2+5x[/mm] auf
> x=2 angewandt wird. Da kommt dann eine Zahl heraus und die
> ist im Fall [mm]v_1^\*(v_1)[/mm] 1 weil die Indizes gleich sind.
> Aber wie sehen diese Linearformen konkret aus und wie komme
> ich an die duale Basis?
Du bist auf dem besten Weg. Den 1. Basisvektor hast Du ja schon, das ist die oben definierte Linearform [mm] v_1^{\*}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 So 22.03.2009 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
> > [mm]v_1^\*(v_1)[/mm] = 1
> > [mm]v_1^\*(v_2)[/mm] = 0
> > [mm]v_1^\*(v_3)[/mm] = 0
>
> Hiermit kennst Du die Werte des ersten Basisvektors, und Du
> kannst nun seine Darstellungsmatrix bzgl. der kanonischen
> Basis [mm](1,x,x^2)[/mm] aufstellen.
Sieht die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis [mm] (1,x,x^2) [/mm] einfach so aus? :
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
> Nun wende wieder die Def. an und erobere Dir nioch den 2.
> und 3. Basisvektor.
[mm] v_2^\*(v_1) [/mm] = 0
[mm] v_2^\*(v_2) [/mm] = 1
[mm] v_2^\*(v_3) [/mm] = 0
und
[mm] v_3^\*(v_1) [/mm] = 0
[mm] v_3^\*(v_2) [/mm] = 0
[mm] v_3^\*(v_3) [/mm] = 1
> > Aber wie sehen diese Linearformen konkret aus und wie komme
> > ich an die duale Basis?
>
> Du bist auf dem besten Weg. Den 1. Basisvektor hast Du ja
> schon, das ist die oben definierte Linearform [mm]v_1^{\*}.[/mm]
Mir ist das leider alles noch ein wenig zu abstrakt. Klar, die lineare Abbildung [mm] v_i^{\*} [/mm] ist wie jede andere lineare Abbildung eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt und die sind mir ja bekannt.
Doch mein Ziel ist, die Abbildung f als Linearkombination der dualen Basis [mm] B^{\*} [/mm] zu bestimmen, das müsste doch so ähnlich aussehen wie:
[mm] f(p)=a*v_1^{\*}+b*v_2^{\*}+c*v_3^{\*} [/mm] mit a, b, c [mm] \in \IR, [/mm] oder liege ich da falsch?
Viele Grüße,
Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 So 22.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
meiner Meinung nach ist der von Angela eingeschlagene Weg weder didaktisch noch rechnerisch sinnvoll. Rechnungen wie diese versperren den Blick auf das Wesen der dualen Basis total. Ich habe das am Anfang auch so gerechnet, aber wirklich verstanden habe ich die duale Basis erst durch folgende Überlegung:
Ist V ein Vektorraum mit der Basis [mm] $\{b_1,...,b_n\}$ [/mm] und [mm] $V^\star$ [/mm] der Dualraum mit der dualen Basis [mm] $\{b_1^\star,...,b_n^\star\}$, [/mm] so gilt [mm] $$\alpha\in V^\star\Rightarrow \alpha=\sum_{i=1}^n \alpha(b_i)\cdot b_i^\star$$ [/mm] D.h. in dieser Aufgabe ist z.B. [mm] $f=f(v_1)v_1^\star+f(v_2)v_2^\star+f(v_3)v_3^\star$. [/mm] So einfach ist das. Überlege dir, wie man die obige Formel beweist. Es gibt eine analoge Formel [mm] $x\in V\Rightarrow x=\sum_{i=1}^n ???\cdot e_i$, [/mm] wie lautet sie? Beweis?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 So 22.03.2009 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
> Ist V ein Vektorraum mit der Basis [mm]$\{b_1,...,b_n\}$[/mm] und
> [mm]$V^\star$[/mm] der Dualraum mit der dualen Basis
> [mm]$\{b_1^\star,...,b_n^\star\}$,[/mm] so gilt [mm]\alpha\in V^\star\Rightarrow \alpha=\sum_{i=1}^n \alpha(b_i)\cdot b_i^\star[/mm]
> D.h. in dieser Aufgabe ist z.B.
> [mm]$f=f(v_1)v_1^\star+f(v_2)v_2^\star+f(v_3)v_3^\star$.[/mm] So
> einfach ist das. Überlege dir, wie man die obige Formel
> beweist.
Also, lässt sich f wie folgt darstellen:
f = [mm] v_1^{\*}+\bruch{1}{2}*v_2^{\*}+\bruch{1}{3}*v_3^{\*}.
[/mm]
Und damit ist die Aufgabe schon gelöst?!
>Es gibt eine analoge Formel [mm]$x\in V\Rightarrow x=\sum_{i=1}^n ???\cdot e_i$,[/mm]
> wie lautet sie? Beweis?
Jeder Vektor x [mm] \in [/mm] V lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren von V darstellen, also gilt: [mm] x=\summe_{i=1}^{n}\alpha_i*e_i, [/mm] wobei [mm] e_i [/mm] die Basisvektoren von V sind und [mm] \alpha_i [/mm] Skalare sind. So haben wir in der Vorlesung die Basis definiert. Bewiesen wurde da nichts.
Danke für deine Hilfe!
Ich denke, ich hab's jetzt kapiert.
Viele Grüße,
Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 So 22.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Also, lässt sich f wie folgt darstellen:
> f = [mm]v_1^{\*}+\bruch{1}{2}*v_2^{\*}+\bruch{1}{3}*v_3^{\*}.[/mm]
> Und damit ist die Aufgabe schon gelöst?!
Ja, aber wenn du nicht verstehst warum diese Formel stimmt, hast du nichts verstanden.
> Jeder Vektor x [mm]\in[/mm] V lässt sich als Linearkombination der
> Basisvektoren von V darstellen, also gilt:
> [mm]x=\summe_{i=1}^{n}\alpha_i*e_i,[/mm] wobei [mm]e_i[/mm] die Basisvektoren
> von V sind und [mm]\alpha_i[/mm] Skalare sind. So haben wir in der
> Vorlesung die Basis definiert. Bewiesen wurde da nichts.
Ja ok. Wahrscheinlich ist dir nicht ganz klar worauf ich hinaus will nämlich: für alle [mm]x\in V[/mm] ist [mm] $$x=\sum_{i=1}^n e_i^\star(x)\cdot e_i$$ [/mm] D.h. die Koeffizieten von x sind stets gegeben durch [mm] $e_i^\star(x)$.
[/mm]
Beweis:
Nach dem was du oben geschrieben hast, lässt sich x schreiben als [mm] $x=\sum_{i=1}^n x_ie_i$ [/mm] für gewisse [mm] $x_i\in\IR$.
[/mm]
Also gilt [mm] $e_i^\star(x)=e_i^\star\left(\sum_{j}x_je_j\right)=\sum_j x_i\cdot e_i^\star(e_j)=\sum_j x_i\delta_{ij}=x_i$ [/mm] für alle [mm] $1\le i\le [/mm] n$, also die [mm] Behauptung.$\Bbox$
[/mm]
Ich kann dir nur dringend dringend empfehlen, die Formel von oben für [mm] $\alpha\in V^\star$ [/mm] zu beweisen, es ist sehr einfach, aber es bringt Verständnis.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 22.03.2009 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
ich hab das jetzt so bewiesen:
v [mm] \in [/mm] V lässt sich so darstellen: v = [mm] \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i v_i } [/mm] und f [mm] \in V^{\*} [/mm] lässt sich so darstellen: f = [mm] \sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i v_i^\* }, [/mm]
wobei [mm] v_i^\* [/mm] die Basisvektoren von [mm] V^{\*} [/mm] sind und [mm] v_i [/mm] die Basisvektoren von V sind.
Setzt man nun [mm] v_i [/mm] in f ein, so erhält man:
[mm] f(v_i) [/mm] = [mm] \beta_1 v_1^{\*} (v_i) [/mm] + ... + [mm] \beta_i v_i^{\*} (v_i) [/mm] + ... + [mm] \beta_n v_n^{\*} (v_i) [/mm] = [mm] \beta_i [/mm]
Daraus folgt dann:
f = [mm] \sum\limits_{i = 1}^n {\beta_i v_i^\* } [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 1}^n {f(v_i) v_i^\* }
[/mm]
Und allgemein, wenn man einen Vektor v [mm] \in [/mm] V in f einsetzt erhält man:
f(v) = [mm] \sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i \cdot v_i^\* (\sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i v_i } ) = } \sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i \cdot \alpha _i } [/mm]
Das heißt, man braucht ja nur noch die Koeffizienten von f und v jeweils, um das Bild f(v) zu berechnen. Liegt der Sinn der dualen Basis dann evtl. in der Effizienz, weil es ja schneller und einfacher geht, an die jeweiligen Bilder von f zu kommen?
Viele Grüße,
Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 So 22.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Dein Beweis stimmt. Der Sinn... naja die duale Basis ist halt einfach da und macht das Leben einfach 
Gruß, Robert
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