Duales Gitter < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:27 Do 09.09.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Zusammen
Ich habe eine Frage bezüglich eines Beispiels in meinem Script, welches ich nicht nachvollziehen kann..
Ich habe [mm]K = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})[/mm] ein quadratischer Zahlkörper mit dem Ganzheitsring [mm]\mathcal{O}_{K} = \mathbb{Z}\oplus\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\mathbb{Z}[/mm]
Somit ist durch [mm]s_{1} = 1[/mm], [mm]s_{2} = \frac{1+\sqrt{-3}}{2}[/mm] eine Basis gegeben.
Gesucht ist eine Basis von [mm]\mathcal{O}_{K}'[/mm], das zu [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] duale Gitter.
Im Beispiel wird zuerst die Matrix bezüglich der Spur aufgestellt, also [mm](x,y) \mapsto tr(xy)[/mm] wird durch [mm]A = \left(\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\
1 & -1 \end{smallmatrix}\right)[/mm] dargestellt und besitzt die Inverse [mm]\left(\begin{smallmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{smallmatrix}\right)[/mm].
Jetzt, ohne weitere Erklärung schreibt er hin:
[mm]s_{1}' = \frac{3+\sqrt{-3}}{6}[/mm]
[mm]s_{2}' = \frac{\sqrt{-3}}{3}[/mm]
Das ist jetzt die duale Basis zu [mm]\mathcal{O}_{K}'[/mm]
Ich mein, ich weiss, dass [mm][/mm][mm]tr(s_{i}s_{j}') = s_{ij}[/mm], kann aber diese Berechnung nicht nachvollziehen.. was genau macht er da?
Ich hoffe , jemand kann mir helfen..
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 09.09.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Gleich eine anschliessende Frage:
Wenn ich jetzt [mm]\mathcal{O}_{K}' = \mathbb{Z}\oplus\frac{1+\sqrt{-3}}{6}\mathbb{Z}[/mm] habe, und ich möchte das Differente Ideal... ist ja definiert als:
[mm]\mathcal{D}_{K} := (\mathcal{O}_{K}')^{-1}[/mm]
Im diesem Beispiel wäre jetzt [mm]\mathcal{D}_{K} = \frac{3-\sqrt{-3}}{2}\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}[/mm]
Auch hier die Frage.. wie komm ich da drauf? ^^ Ich hatte noch keinen Kurs in kommutativer Algebra, darum die Mühe mit den Idealen hoch [mm]^{-1}[/mm] usw..
Danke für die Hilfe!
Gr
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Fr 10.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> Gleich eine anschliessende Frage:
>
> Wenn ich jetzt [mm]\mathcal{O}_{K}' = \mathbb{Z}\oplus\frac{1+\sqrt{-3}}{6}\mathbb{Z}[/mm]
> habe, und ich möchte das Differente Ideal... ist ja
> definiert als:
>
> [mm]\mathcal{D}_{K} := (\mathcal{O}_{K}')^{-1}[/mm]
>
> Im diesem Beispiel wäre jetzt [mm]\mathcal{D}_{K} = \frac{3-\sqrt{-3}}{2}\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}[/mm]
>
> Auch hier die Frage.. wie komm ich da drauf? ^^ Ich hatte
> noch keinen Kurs in kommutativer Algebra, darum die Mühe
> mit den Idealen hoch [mm]^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
usw..
Im allgemeinen macht das Ausrechnen von Inversen auch nicht so viel Spass  Hier siehst du jedoch, dass das Inverse ein Hauptideal ist: damit ist auch $\mathcal{O}_K'$ ein Hauptideal mit Erzeuger $\frac{1}{\frac{3 - \sqrt{-3}}{2}} = \frac{2 (3 + \srqt{-3})}{(3 - \srqt{-3}) (3 + \srqt{-3})} = \frac{6 + 2 \sqrt{-3}}{9 - 3} = \frac{3 + \sqrt{-3}{3}$.
Es reicht also aus, zu zeigen, dass $\mathcal{D}_K^{-1} = \frac{3 + \sqrt{-3}{3} \mathcal{O}_K$ ist.
Dazu beachte, dass $\frac{3 - \sqrt{-3}}{2} = 2 s_1 - s_2 \in \mathcal{O}_K$ ist: zeige damit, dass $\langle \frac{3 + \sqrt{-3}{3} \rangle = \langle 1, \frac{1 + \sqrt{-3}}{6}\rangle$ ist.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Fr 10.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> Ich habe eine Frage bezüglich eines Beispiels in meinem
> Script, welches ich nicht nachvollziehen kann..
>
> Ich habe [mm]K = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})[/mm] ein quadratischer
> Zahlkörper mit dem Ganzheitsring [mm]\mathcal{O}_{K} = \mathbb{Z}\oplus\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\mathbb{Z}[/mm]
>
> Somit ist durch [mm]s_{1} = 1[/mm], [mm]s_{2} = \frac{1+\sqrt{-3}}{2}[/mm]
> eine Basis gegeben.
>
> Gesucht ist eine Basis von [mm]\mathcal{O}_{K}'[/mm], das zu
> [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] duale Gitter.
>
> Im Beispiel wird zuerst die Matrix bezüglich der Spur
> aufgestellt, also [mm](x,y) \mapsto tr(xy)[/mm] wird durch [mm]A = \left(\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\
1 & -1 \end{smallmatrix}\right)[/mm]
> dargestellt und besitzt die Inverse
> [mm]\left(\begin{smallmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{smallmatrix}\right)[/mm].
>
> Jetzt, ohne weitere Erklärung schreibt er hin:
>
> [mm]s_{1}' = \frac{3+\sqrt{-3}}{6}[/mm]
Das ist gleich [mm] $\frac{1}{3} s_1 [/mm] + [mm] \frac{1}{3} s_2$.
[/mm]
> [mm]s_{2}' = \frac{\sqrt{-3}}{3}[/mm]
Das ist gleich [mm] $\frac{1}{3} s_1 [/mm] - [mm] \frac{2}{3} s_2$.
[/mm]
Siehst du jetzt einen Zusammenhang zur Inversen?
Das geht so ganz allgemein: sei $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum mit Basis [mm] $b_1, \dots, b_n$, [/mm] und sei [mm] $\langle \bullet, \bullet \rangle$ [/mm] eine nicht-degenerierte symmetrische Bilinearform auf $V$.
Dann kannst du die Grammatrix hinschreiben: $A = [mm] (a_{ij})_{ij} \in K^{n \times n}$ [/mm] mit [mm] $a_{ij} [/mm] = [mm] \langle b_i, b_j \rangle$. [/mm] Ist $C = [mm] (c_{ij})_{ij}$ [/mm] die Inverse und setzt du $b'_i := [mm] \sum_{j=1}^n c_{ij} b_j$, [/mm] so ist [mm] $\langle b_i', b_k \rangle [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n c_{ij} a_{jk}$. [/mm] Das ist der $(i,k)$-Eintrag von $C [mm] \cdot [/mm] A$, und das wiederum ist die Einheitsmatrix.
Damit ist [mm] $b_1', \dots, b_n'$ [/mm] die duale Basis von [mm] $b_1, \dots, b_n$ [/mm] bzgl. [mm] $\langle \bullet, \bullet \rangle$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:34 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey Felix!
Vielen Dank für deine Ausführung hier, einmal wieder! :)
Am Mittwoch spätestens höre ich mit den Fragen auf.. dann ist die Prüfung vorbei ;)
Liebe Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Sa 11.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> Vielen Dank für deine Ausführung hier, einmal wieder! :)
Bitte!
> Am Mittwoch spätestens höre ich mit den Fragen auf..
> dann ist die Prüfung vorbei ;)
Viel Erfolg! :)
Ich muss dich schonmal warnen dass ich von Sonntag morgen an bis Mittwoch offline bin. Wenn du vorher versuchst was zu fragen versuche ich vorher noch drauf zu antworten, aber ab Sonntag morgen (evtl. noch kurz Sonntag abend) werd ich nicht mehr antworten koennen...
LG Felix
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