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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 So 29.04.2007 | | Autor: | Kari |
| Aufgabe | | Es seien V ein [mm] \IK-Vektorraum [/mm] und [mm] \phi, \psi \in V^{t}= [/mm] Hom [mm] (V,\IK) [/mm] sein Dualraum. Zeigen Sie, dass es genau dann ein c [mm] \in \IK, [/mm] c [mm] \not= [/mm] 0 gibt mit [mm] \phi [/mm] = [mm] c\psi, [/mm] wenn [mm] Kern(\phi)=Kern(\psi) [/mm] gilt |
Hallo!
Ich habe mit der obengenannten Fragestellung einige Probleme.
Für die Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] habe ich mir folgendes gedacht.
Es seien [mm] \phi=\summe_{i=1}^{n}a_{i}v^{*}_{i} [/mm] und [mm] \psi=\summe_{i=1}^{n}b_{i}w^{*}_{i}
[/mm]
Da [mm] Kern(\phi) [/mm] = {v [mm] \in [/mm] V | mit [mm] \phi(v)=0 [/mm] } und [mm] Kern(\psi) [/mm] = { w [mm] \in [/mm] V | mit [mm] \psi(w)=0 [/mm] } ist, habe ich mir gedacht, dass aus
[mm] Kern(\phi)=Kern(\psi) [/mm] folgen muss, dass w=v.
Ich habe nur leider überhaupt keine Ahnung, ob der Ansatz überhaupt richtig ist. Kann ich [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] als zwei verschiedene Linearformen so ansetzen? Wie komme ich jetzt auf die [mm] w^{*} [/mm] bzw. die [mm] v^{*}?
[/mm]
Ich fürchte, ich durchschaue das Thema noch gar nicht.
Es wäre super, wenn mir da jemand Hilfestellung geben könnte, wie ich die Aufgabe am Besten angehen kann.
Vielen Dank im Voraus!
LG Kari
PS: Ich habe die Aufgabe auf keiner anderen Webseite gepostet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Kari!
> Es seien V ein [mm]\IK-Vektorraum[/mm] und [mm]\phi, \psi \in V^{t}=[/mm] Hom
> [mm](V,\IK)[/mm] sein Dualraum. Zeigen Sie, dass es genau dann ein c
> [mm]\in \IK,[/mm] c [mm]\not=[/mm] 0 gibt mit [mm]\phi[/mm] = [mm]c\psi,[/mm] wenn
> [mm]Kern(\phi)=Kern(\psi)[/mm] gilt
> Hallo!
>
> Ich habe mit der obengenannten Fragestellung einige
> Probleme.
> Für die Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] habe ich mir folgendes
> gedacht.
>
> Es seien [mm]\phi=\summe_{i=1}^{n}a_{i}v^{*}_{i}[/mm] und
> [mm]\psi=\summe_{i=1}^{n}b_{i}w^{*}_{i}[/mm]
> Da [mm]Kern(\phi)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {v [mm]\in[/mm] V | mit [mm]\phi(v)=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und [mm]Kern(\psi)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> = { w [mm]\in[/mm] V | mit [mm]\psi(w)=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ist, habe ich mir gedacht,
> dass aus
> [mm]Kern(\phi)=Kern(\psi)[/mm] folgen muss, dass w=v.
Wenn schon, dass $w = c v$ mit $c [mm] \in \IK \setminus \{ 0 \}$ [/mm] ist.
> Ich habe nur leider überhaupt keine Ahnung, ob der Ansatz
> überhaupt richtig ist. Kann ich [mm]\phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] als zwei
> verschiedene Linearformen so ansetzen?
Ja.
> Wie komme ich jetzt
> auf die [mm]w^{*}[/mm] bzw. die [mm]v^{*}?[/mm]
Wie meinst du das?
> Ich fürchte, ich durchschaue das Thema noch gar nicht.
Weisst du wie die Linearformen funktionieren? Am einfachsten ist es vielleicht, wenn du dir das ganze fuer $V = [mm] \IK^n$ [/mm] mal konkret ueberlegst.
> Es wäre super, wenn mir da jemand Hilfestellung geben
> könnte, wie ich die Aufgabe am Besten angehen kann.
Erstmal solltest du den Fall [mm] $\ker \varphi [/mm] = [mm] \ker \psi [/mm] = V$ aussortieren; in dem Fall sind [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] die Nullabbildungen, und damit gilt [mm] $\varphi [/mm] = c [mm] \psi$ [/mm] fuer jedes $c [mm] \in \IK$.
[/mm]
Am einfachsten kannst du diese Aufgabe mit dem Homomorphiesatz anpacken. Dazu sei $U := [mm] \ker \varphi [/mm] = [mm] \ker \psi$ [/mm] und [mm] $\pi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V/U$ die kanonische Restklassenabbildung. Nun gibt es eindeutige Homomorphismen [mm] $\hat{\varphi}, \hat{\psi} [/mm] : V/U [mm] \to \IK$ [/mm] mit [mm] $\hat{\varphi} \circ \pi [/mm] = [mm] \varphi$ [/mm] und [mm] $\hat{\psi} \circ \pi [/mm] = [mm] \psi$. [/mm] (Das besagt der Homomorphiesatz.)
Nun sind [mm] $\hat{\psi}$ [/mm] und [mm] $\hat{\varphi}$ [/mm] surjektiv und gleichzeitig injektiv (weil [mm] $\ker \pi [/mm] = [mm] \ker \varphi [/mm] = [mm] \ker \psi$ [/mm] ist), also Isomorphismen. Damit ist insbesondere [mm] $\dim [/mm] V/U = 1$.
Damit (etwa durch Wahl einer Basis) bekommst du die Aussage fuer [mm] $\hat{\psi}$ [/mm] und [mm] $\hat{\varphi}$ [/mm] foermlich geschenkt, und dann uebertraegt sie sich direkt auf [mm] $\psi$ [/mm] und [mm] $\varphi$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Di 01.05.2007 | | Autor: | Kari |
Hallo Felix!
Vielen Dank für Deine ausführliche Antwort. Das hat Licht ins Dunkle gebracht :)
Ich denke, damit komme ich zurecht!
Viele Grüße und einen schönen Feiertag
Kari
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