Dualräume < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Do 04.12.2008 | | Autor: | s.1988 |
| Aufgabe | Es seien V und W endlich dimensionale Vektorräume über einem Körper K und f: V [mm] \to [/mm] W sei eine K-lineare Abbildung. Zeigen Sie:
(i) Die durch f*(l):=l [mm] \circ [/mm] f definierte Abbildung f*: W* [mm] \to [/mm] V* ist K-linear
(ii) Es gilt ker(f*)=im(f)' [Orthogonalraum]. Folgern Sie, dass f genau dann surjektiv ist, wenn f* injektiv ist
(iii) Es gilt im (f*)=ker(f)' [Orthogonalraum]. Folgern Sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn f* surjektiv ist. |
Hallo,
ich habe nicht den blassesten Schimmer, wie das gehen soll.
das ' soll der Orthogonal bzw. Senkrechtraum sein (so haben wir das zumindest genannt) [auch manchmal Orthogonales Komplement]
Ich habe das mit den Dualräumen noch nicht so wirklich verstanden, wäre also nett, wenn nicht einfach gesagt würde ich solle die Definitionen und Sätze anwenden, das habe ich schon versucht.
Vielen Dank
Sebastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Do 04.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Es seien V und W endlich dimensionale Vektorräume über
> einem Körper K und f: V [mm]\to[/mm] W sei eine K-lineare Abbildung.
> Zeigen Sie:
> (i) Die durch f*(l):=l [mm]\circ[/mm] f definierte Abbildung f*: W*
> [mm]\to[/mm] V* ist K-linear
Zeige dass [mm] $f^\star(\lambda\alpha+\mu\beta)=\lambda f^\star(\alpha)+\mu f^\star(\beta)$ [/mm] ist für alle [mm]\alpha,\beta\in W^\star=Hom(W, K)[/mm] und [mm] $\lambda,\mu\in [/mm] K$. Auf der linken und rechten Seite dieser Behaupteten Gleichheit stehen jeweils Elemente aus [mm] $V^\star$, [/mm] also Abbildungen von V nach K. Um zu zeigen, dass sie gleich sind, stecke einfach ein beliebiges [mm]v\in V[/mm] rein und schau ob dasselbe raus kommt. Zum Beispiel ist [mm] $$(f^\star(l+w))(v)=((l+w)\circ f)(v)=(l+w)(f(v))=l(f(v))+w(f(v))=(l\circ f)(v)+(w\circ f)(v)=f^\star(l)(v)+f^\star(w)(v)$$ [/mm] also insgesamt [mm] $f^\star(l+w)=f^\star(l)+f^\star(w)$...
[/mm]
> (ii) Es gilt ker(f*)=im(f)' [Orthogonalraum]. Folgern Sie,
> dass f genau dann surjektiv ist, wenn f* injektiv ist
> (iii) Es gilt im (f*)=ker(f)' [Orthogonalraum]. Folgern
> Sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn f* surjektiv ist.
Du weißt doch sicher, dass lineare Abbildungen genau dann injektiv sind, wenn ihr Kern der Nullvektorraum ist. Außerdem sind sie surjektiv genau dann, wenn ihr Bild gleich der gesamten Zielmenge ist. Jetzt wirf das zusammen in einen Topf und rühr mal kräftig um 
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Sa 06.12.2008 | | Autor: | s.1988 |
Hallo,
(i) ist jetzt klar, habe alles verstanden, danke dafür.
Aber zu (ii): Ich bin jetzt angefangen:
"=>"Sei f surjektiv =>im(f)=W=>im(f)'=W'=>im(f)'=ker(f)=>im(f)'=0=>f+ ist injektiv
und der rest danna genauso quasi.
vielen Dank
Sebastian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Sa 06.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Richtig... kann man sicher noch einen Tick hübscher schreiben aber ok.
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:09 So 07.12.2008 | | Autor: | Mucky_ |
Es wurde ja nun nur eine Richtung gezeigt. Kann man diesen Folgeweg nicht genauso als Äquivalenz zeigen?
Zudem:
Es wurde gezeigt: im(f)'=ker(f)
ker(f) ist doch etwas völlig anderes als ker(f*) oder täusche ich da?
Wie unterscheide ich zwischen Orthogonalraum und Dualraum?
also f*: W* -> V* definiert ja den dualen Abbildungsraum,
Das hat doch mit dem Orthoginalraum nichts gemeinsam oder?
Bin etwas verwirrt von den ganzen Sternchen, T-senkrecht und der normalen Abbildung.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Di 09.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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