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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Do 03.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Da bin ich schon wieder (sorry) (aber die Antworten auf meine Fragen helfen mir sehr weiter)
Also folgende Aufgabe
Es seien U,W Unterräume eines endl.-dim. Vektorraumes V.
Sei [mm] \Phi: [/mm] V [mm] \to V^{\*\*} [/mm] der kanonische Isomorphismus mit
[mm] \Phi(v) [/mm] = [mm] L_{v}
[/mm]
für [mm] v\in [/mm] V, wobei [mm] L_{v}(f)= [/mm] f(v) für f [mm] \in V^{\*} [/mm] ist.
Zu zeigen
i [mm] \Phi(U) [/mm] = [mm] (U^{0})^{0}
[/mm]
ii Aus [mm] U^{0}=W^{0} [/mm] folgt U=W
Ich hab eine Idee für i [mm] \supseteq [/mm] wär nett wenn sich die mal jemand anschauen würde. Weiß aber nicht wie ich das genau aufschreiben soll und ob es richtig ist. ei andern Teilen habe ich keine Ahnung
Also meine Idee : Sei [mm] L_{v}\in (U^{0})^{0} [/mm] beliebig.
[mm] \forall [/mm] f [mm] \in U^{0}: L_{v}(f)= [/mm] 0
daraus folgt [mm] \forall [/mm] f [mm] \in U^{0}: [/mm] f(v)=0
da dies nur für Elemente aus U gilt müßte folgen
[mm] \Phi(U) \supseteq (U^{0})^{0}
[/mm]
Hoffe das war nicht zu verwirrend schon jetzt Danke! Ach ja bevor ichs vergesse ich habe diese Frage in keinem anderm Forum gestellt.
Mr Coffee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo MrCoffee!
> Es seien U,W Unterräume eines endl.-dim. Vektorraumes V.
>
> Sei [mm]\Phi:[/mm] V [mm]\to V^{\*\*}[/mm] der kanonische Isomorphismus mit
>
> [mm]\Phi(v)[/mm] = [mm]L_{v}
[/mm]
> für [mm]v\in[/mm] V, wobei [mm]L_{v}(f)=[/mm] f(v) für f [mm]\in V^{\*}[/mm] ist.
>
> Zu zeigen
>
> i [mm]\Phi(U)[/mm] = [mm](U^{0})^{0}
[/mm]
> ii Aus [mm]U^{0}=W^{0}[/mm] folgt U=W
>
> Ich hab eine Idee für i [mm]\supseteq[/mm] wär nett wenn sich die
> mal jemand anschauen würde. Weiß aber nicht wie ich das
> genau aufschreiben soll und ob es richtig ist. ei andern
> Teilen habe ich keine Ahnung
>
> Also meine Idee : Sei [mm]L_{v}\in (U^{0})^{0}[/mm] beliebig.
> [mm]\forall[/mm] f [mm]\in U^{0}: L_{v}(f)=[/mm] 0
> daraus folgt [mm]\forall[/mm] f [mm]\in U^{0}:[/mm] f(v)=0
Bis dahin: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> da dies nur für Elemente aus U gilt müßte folgen
>
> [mm]\Phi(U) \supseteq (U^{0})^{0}
[/mm]
Dies könnte man sauberer begründen! Etwa so: Es sei [mm] $\{u_1,\ldots,u_k\}$ [/mm] eine Basis aus $U$, die wir zu einer Basis [mm] $\{u_1,\ldots,u_k,v_{k+1},v_n\}$ [/mm] von $V$ ergänzen. Wir bezeichnen mit [mm] $\{u_1^{\*},\ldots,u_k^{\*},v_{k+1}^{\*},v_n^{\*}\}$ [/mm] die zugehörige duale Basis.
Angenommen es wäre $v [mm] \notin [/mm] U$. Dann wäre
$v = [mm] \sum\limits_{i=1}^k \lambda_i u_i [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=k+1}^{n} \mu_i v_i$,
[/mm]
wobei für mindestens ein [mm] $i\in \{k+1,\ldots,n\}$ [/mm] gilt: [mm] $\mu_i \ne [/mm] 0$.
Dann wäre aber für dieses $i$:
[mm] $v_i^{\*}(v) [/mm] = [mm] \mu_i \ne [/mm] 0$ und [mm] $v_i^{\*} \in U^0$,
[/mm]
im Widerspruch zu
[mm]\forall[/mm] f [mm]\in U^{0}: f(v)=0[/mm].
Es muss also $v [mm] \in [/mm] U$ und damit [mm] $L_v \in \Phi(U)$ [/mm] gelten.
Die andere Richtung ist völlig trivial:
Sei [mm] $L_v \in \Phi(U)$, [/mm] also $v [mm] \in [/mm] U$. Dann gilt natürlich für alle $f [mm] \in U^0$:
[/mm]
[mm] $L_v(f) [/mm] = f(v) = 0$,
also: [mm] $L_v \in (U^0)^0$.
[/mm]
Bei der zweiten Aufgabe würde ich ganz gerne mal einen Ansatz von dir sehen.
Tipp: Es ist ein Einzeiler, wenn man den ersten Teil berücksichtigt. 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Fr 04.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Hallo Julius
Danke für die schnelle Hilfe.
Ok hier ist mein Ansatz/Lösung (hoffentlich):
Aus [mm] U^{0}= W^{0} [/mm]
[mm] \Rightarrow (U^{0})^{0}= (W^{0})^{0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] nach teil i [mm] \Phi(U)=\Phi(W)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] da [mm] \Phi [/mm] Isomorphismus (also insbesondere bijektiv ist) U=W
Hoffe das ist so richtig gefolgert. Ist das Ok das ich die ganze Menge betrachtet habe oder hätte ich jeweils einzelne beliebige Elemente betrachten müssen. Nochmal Danke und wahrscheinlich bis bald die nächsten Fragen drängen sich mir schon auf!
Mr Coffee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo MrCoffee!
Alles super und richtig so! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Viele Grüße
Julius
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