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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Di 01.05.2007 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | | Es seien V ein [mm] \Ik-Vektorraum, V^{t} [/mm] sein Dualraum und [mm] \phi_{1},...\phi_{n} \in V^{t} [/mm] linear unabhängig. Zeigen Sie, daß es [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] gibt mit [mm] \phi_{i}(v_{j})=\delta_{ij} [/mm] für i,j=1,...,n |
Huhu!
Das will ich per Induktion beweisen. Nur trifft mich da wieder mein altbekanntes Problem:
Ich weiß gar nicht, wie die Formel funktioniert. Könnte mir da jemand ein oder zwei "Anwendungsbeispiele" zeigen, also mal i und j einsetzen und dann kommt das Ergebnis raus?
Gruß
Iris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Wenn ich Dich richtig verstehe, möchtest Du wisssen, was
[mm] $\delta_{ij}$
[/mm]
bedeutet.
[mm] $\delta_{i;j}$ [/mm] ist für verschiedene Indizes i, j gleich Null, Beispiele:
[mm] $\delta_{1;2}=0$, $\delta_{2;1}=0$,
[/mm]
[mm] $\delta_{1;3}=0$ $\delta_{3;1}=0$
[/mm]
[mm] $\delta_{1;4}=0$, $\delta_{4;1}=0$
[/mm]
Oder [mm] $\delta_{9;5}=0, \delta_{123;4212}=0$ [/mm] usw.
Für gleiche Indizes i, j gilt:
[mm] $\delta_{1;1}=1$
[/mm]
[mm] $\delta_{2;2}=1$
[/mm]
[mm] $\delta_{3;3}=1$
[/mm]
[mm] $\delta_{4;4}=1$
[/mm]
[mm] $\delta_{5;5}=1$
[/mm]
usw.
bzw. allgemein: [mm] $\delta_{k;k}=1$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Di 01.05.2007 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Nein, was das bedeutet, wußte ich. ;)
Aber wie kommt das raus, wenn ich [mm] \phi(v) [/mm] berechne?
Gruß
Iris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
[mm] $\phi_{1} \in V^{t}$ [/mm] linear unabhängig bedeutet insbesondere, dass [mm] $\phi_{1}$ [/mm] nicht die Nullabbildung ist. Damit existiert ein [mm] $w_1 \in [/mm] V$ mit [mm] \phi_{1}(w_1) [/mm] = k [mm] \not= [/mm] 0$. Aus der Linearität von [mm] $\phi_{1}$ [/mm] folgt nun, dass Du
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] k^{-1}w_1$
[/mm]
die geforderte Eigenschaft
[mm] $\phi_{1}(v_1) [/mm] = 1$
besitzt.
Soviel zu Deinem Induktionsanfang.
Wobei ich hier eine Induktion nicht für notwendig halte.
Noch ein Tipp:
[mm] $\phi_{2}(v_1) [/mm] = [mm] k_2 \not= [/mm] 0$ kannst Du schnell zum Widerspruch führen. Benutze wieder die Linearität der [mm] $\phi_i$ [/mm] und die Tatsache, dass die [mm] $\phi_i$ [/mm] linear unabhängig sind.
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