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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Mi 09.05.2007 | | Autor: | verkackt |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler [mm] \IK-Vektorraum, [/mm] Sei [mm] V^{*} [/mm] sein Dualraum und sei ( [mm] V^{*})^{*} [/mm] der Dualraum des Dualraums. Für v [mm] \in [/mm] V sei
[mm] l_{v}:V^{*} \to \IK [/mm] definiert durch f [mm] \mapsto l_{v}(f)=f(v)
[/mm]
1.Zeigen Sie , dass die Abbildung [mm] \pi_{v}:V \to [/mm] ( [mm] V^{*})^{*} [/mm] ,
v [mm] \mapsto l_{v}, [/mm] ein isomorphismus von Vektorräumen ist.
2.Zeigen Sie , dass für die Identifikation von V mit ( [mm] V^{*})^{*} [/mm] mit dem obigen Isomorphismus [mm] \pi_{v}, (\IB^{*})^{*}= \IB [/mm] ist
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Hallo Leute,
Ich brauch eure Hilfe.Zu 1. Hab schon die Linearität gezeigt.Müss nur noch zeigen, dass die Abbildung injektiv und surjektiv ist.
Ich weiß, z.z. ist sei v, w [mm] \in [/mm] V aus [mm] \pi_{v}= \pi_{w} \gdw [/mm] v=w für Injektivität
Und sei f [mm] \in [/mm] ( [mm] V^{*})^{*} [/mm] muss mn zeigen, dass es ein v [mm] \in [/mm] V existiert, sodass [mm] \pi_{v}= [/mm] f
Weiß aber nicht, wie ich vorgehen soll?
Zu 2. Hier weiß ich überhaupt nicht,wie man es zu beweisen hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Mi 09.05.2007 | | Autor: | verkackt |
Hallo nochmal
ich hab schon die Injektivität gezeigt.brauch also nur ne Hilfe, um die Surjektivität zu beweisen
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Hi verkackt,
die Surj. brauchste doch dann nicht mehr nachzuweisen,
es ist doch [mm] $dim(V)=dim\left(V^{*}\right)=dim\left(\left(V^{*}\right)^*\right)$
[/mm]
Und für eine lineare Abb. [mm] $\varphi [/mm] : [mm] V\rightarrow [/mm] W$ mit V,W endl. gleichdimens. gilt doch
[mm] $\varphi$ [/mm] injektiv [mm] $\gdw\varphi$ [/mm] surj. (s. LAI)
Gruß
schachuzipus
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Hallo verkackt,
ich muss die Aufgaben auch machen und bin noch etwas planlos - wie hast du das mit der Linearität gemacht?
LG Tanzmaus
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Hallo Tanzmaus,
zeige zum einen die Additivität von [mm] $\pi_V$
[/mm]
Schnappe dir dazu [mm] $v_1,v_2\in [/mm] V$ und zeige [mm] $\pi_V(v_1+v_2)=\pi_V(v_1)+\pi_V(v_2)$
[/mm]
Einfach die Def, von [mm] $\pi_V$ [/mm] benutzen
Zum anderen zeige die Homogenität von [mm] $\pi_V$
[/mm]
Dazu schnappe dir [mm] $\lambda\in\IK$ [/mm] und [mm] $v\in [/mm] V$ und zeige [mm] $\pi_V(\lambda v)=\lambda\pi_V(v)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hi Schachuzipz,
dann war ich ja schonmal auf dem richtigen Anfangsweg. Danke.
LG Tanzmaus
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Hallo Schachuzipus,
Ich danke dir für deine Antwort.Das hatte ich irgendwo anderes auch gelesen, wusste aber nicht,wie man die Gleichheit der Dimensionen begründen soll.
Kannst du bitte auch , was zu 2. sagen.Ich weiß, dass ich beweisen soll, dass B eine basis von [mm] (V^{*})^{*} [/mm] ist.Die linearunabhängigkeit der Elemente von B ist klar, wie soll man aber zeigen, dass man v aus [mm] (V^{*})^{*} [/mm] als Linearkombination von B schreiben kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:21 Sa 12.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:11 Do 10.05.2007 | | Autor: | verkackt |
Entschuldige Tanzmaus, ich war nicht mehr on gewesen, als du gefragt hast.
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