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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Di 18.12.2007 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K. Es sei { [mm] v_{1} [/mm] ... [mm] v_{n} [/mm] } eine Basis von V und { [mm] \mu_{2}, [/mm] .... , [mm] \mu_{n} [/mm] } die duale Basis von [mm] V^{\*}
[/mm]
Zeigen Sie, dass für alle v [mm] \in [/mm] V und alle [mm] \mu \in V^{\*} [/mm] gilt:
[mm] v=\summe_{j=1}^{n} \mu_{j}(v)v_{j}
[/mm]
[mm] \mu_=\summe_{j=1}^{n} \mu(v_{j})\mu_{j} [/mm] |
Ich vesrteh die Aufgabe nicht ganz. Wie geht man da ran?
heißt das jedes v ist darstellbar als Summe [mm] \summe_{j=1}^{n} \mu_{j}(v)v_{j} [/mm] ??
Aber wie zeig ich das?
LG
SpoOny
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K. Es
> sei { [mm]v_{1}[/mm] ... [mm]v_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine Basis von V und { [mm]\mu_{1},[/mm]
> .... , [mm]\mu_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} die duale Basis von [mm]V^{\*}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass für alle v [mm]\in[/mm] V und alle [mm]\mu \in V^{\*}[/mm]
> gilt:
>
> [mm]v=\summe_{j=1}^{n} \mu_{j}(v)v_{j}[/mm]
>
> [mm]\mu_=\summe_{j=1}^{n} \mu(v_{j})\mu_{j}[/mm]
> Ich vesrteh die
> Aufgabe nicht ganz. Wie geht man da ran?
>
> heißt das jedes v ist darstellbar als Summe
> [mm]\summe_{j=1}^{n} \mu_{j}(v)v_{j}[/mm] ??
>
> Aber wie zeig ich das?
Hallo,
nimm Dir ein beliebiges [mm] v\in [/mm] V.
Da [mm] (v_1,...v_n) [/mm] Basis v. V ist, kannst Du v schreiben als [mm] v=\summe_{i=1}^{n} a_iv_i [/mm] mit [mm] a_i\in [/mm] K.
Nun berechne
[mm] \summe_{j=1}^{n} \mu_{j}(v)v_{j}=\summe_{j=1}^{n} \mu_{j}(\summe_{i=1}^{n} a_iv_i)v_{j}.
[/mm]
Hierfür mußt Du beachten, daß die [mm] \mu_{j} [/mm] dem Dualraum entstammen, also linear sind.
Außerdem mußt Du die Eigenschaft der dualen Basis verwenden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Di 18.12.2007 | | Autor: | SpoOny |
danke schön (-:
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