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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:51 Mi 08.07.2009 | | Autor: | disconnectus |
| Aufgabe | Es sei V:= [mm] R^3 [/mm] und B: = [mm] (b_{1}, b_{2}, b_{3}) [/mm] eine Basis von V mit
[mm] b_{1} [/mm] := [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] b_{2} [/mm] := [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 }, b_{3} [/mm] := [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ -1 }
[/mm]
b) Bestimmen Sie die zu B duale Basen von B* bezüglich [mm] b_{1}, b_{2}, b_{3}. [/mm] |
Kann jemand vielleicht helfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mi 08.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was weisst du denn ueber den dualen Raum und die duale Basis?
sonst guk halt erst mal nach duale basis in wiki ud mach dich schlau. dann kannst du gezieltere Fragen stellen, falls noch was offen ist.
Gruss leduart
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Ich habe viel über Dualraum gelesen. Ich kann mir leider kaum vorstellen was ein Dualraum ist.
Ich weis nicht wie kann ich von bestimmten basen, die basen von dualraum erstellen?
Daraus folt: ich weis nicht genau was Dualraum ist :) oder ich weis nicht wie ich es erstelle.
Für mich Dualraum ist ein Vektorraum :
Die elemente von Dualraum sind Abbildungen der form:
F : [mm] \IR^3 \to \IR
[/mm]
[mm] \pmat{ x \\ y \\ z } \mapsto [/mm] k1x+k2y+k3z
k1, k2, k3 [mm] \in\IR
[/mm]
F ist linear.
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Hallo
> Ich habe viel über Dualraum gelesen. Ich kann mir leider
> kaum vorstellen was ein Dualraum ist.
> Ich weis nicht wie kann ich von bestimmten basen, die basen
> von dualraum erstellen?
> Daraus folt: ich weis nicht genau was Dualraum ist :) oder
> ich weis nicht wie ich es erstelle.
>
> Für mich Dualraum ist ein Vektorraum :
>
> Die elemente von Dualraum sind Abbildungen der form:
> F : [mm]\IR^3 \to \IR[/mm]
>
> [mm]\pmat{ x \\ y \\ z } \mapsto[/mm] k1x+k2y+k3z
>
> k1, k2, k3 [mm]\in\IR[/mm]
>
> F ist linear.
Der Dualraum ist der Vektorraum der Linearen Abbildungen vom ursprünglichen Vektorraum zum Körper des Vektorraumes.. also eine Abbildung V [mm] \rightarrow [/mm] K.
Eine Basis des Dualraums findest du, indem du die Basiselemente [mm] x_{i} \in [/mm] V deines Vektorraums nimmst, und folgendermassen abbildest:
x [mm] \mapsto \begin{cases} 1, \mbox{falls} x = x_{i} \\ 0, \mbox{falls} x = x_{j}, i \not= j \end{cases}
[/mm]
D.h, deine Basisvektoren werden auf 1 oder 0 abgebildet.. Das gibt dir ein Gleichungssystem, den du lösen kannst :)
Grüsse, Amaro
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Die Abbildung habe ich nicht verstanden.
ich nehme [mm] x_{i} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\0 }
[/mm]
Wie kann ich das abbilden? ist das 1 oder 0 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mi 08.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Der Dualraum des [mm] R^3 [/mm] besreht doch aus 3 linear unabhaengigen linearen abbildungen.
2. eine lineare abbildung liegt fest, wenn man sie auf 3 linear unabhaengigen vektoren angibt.
3. die basisvektoren sind lin. unabhaengig, deshalb kann man die 3 lin. abb durch die jewiligen bilder der Basis Vektoren geben.
Das einfachst dabei ist:
L1 bildet b1 auf 1 ab, b2 und b3 auf 0
L2 bildet b2 auf 1 ab, b1 und b3 auf 0
L3 bildet b3 auf 1 ab, b1 und b2 auf 0.
jetzt muss man noch ne Darstellung finden.
lin Abb. bekommt man wenn man einen Vektor mit ner Zeilenmatrix bzw. Zeilenvektor abbildet.
diese Zeilenvektoren sind dann die uebliche Basis des dualen Raums. (in dem man natuerlich auch andere basen waehlen kann, aber die sollst du finden, weil sie die duale Basis heisst.)
also finde 3 Zeilenvektoren b^* so dass
b1^*b1=1 UND b1^**b2 Und b1^*b3=0 sind.
z. Bsp ist b2^*=(0.5,0,0.5) ueberzeug dich dass er tut, was er soll und finde die 2 anderen.
Gruss leduart
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Danke ich habe es endlich verstanden.
Ich bin sehr begeistert.
b1^*b1=1 b1^*b2=0 b1^*b3=0
b2^*b1=0 b2^*b2=1 b2^*b3=0
b3^*b1=0 b3^*b2=0 b3^*b3=1
b1^* = (0, 1, 0) b3^* = (0.5 , 0 , -0.5)
Gibt es irregendeine Algorithmus um die Werte zu finden?
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