Duration bei langen Laufzeiten < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Kuponanleihe mit einem Nominalzins von 12% und einem Nennwert von 100 Mio EUR hat eine Restlaufzeit von 25 Jahren. Die Marktrendite über alle Laufzeiten beträgt 8%.
Berechnen Sie die Duration der Anleihe. |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Berechnung der Duration bei Kuponanleihen mit langen Laufzeiten.
Wir haben üblichweise die Duration über eine Tabelle ermittelt, dies ist jedoch bei langen Laufzeiten (wie hier 25 Jahre) sehr aufwendig.
Ich habe für die Aufgabe folgenden Ansatz:
Variablen:
y: Rendite
CF: Cash Flow (Auszahlungsbetrag)
ABWF: Annuitäten Barwert Faktor
n: Laufzeit
NW: Nennwert der Anleihe
P: Preis der Anleihe (Summe der Barwerte der CF)
DUR: Duration
zunächst wird der Preis berechnet
P = CF * ABWF8%,25J + [mm] 100/1+y^n
[/mm]
P = 12 Mio * 10,6748 + 100/1,08^25
P = 142,70 Mio
Soweit ist alles OK.
Da ein Zero Bond nach der Duration die Summe der Nettoauszahlungen auszahlen muss um eine mit der Kuponanleihe gleiches Zinsänderungsrisiko und Rendite zu haben habe ich folgende Formel aufgestellt:
y = ((Summe CF + NW) / P)^(1/DUR) -1
nach der Duration aufgelöst
DUR = ln ((Summe CF + NW) / P) / ln (y+1)
DUR = ln((25*12Mio + 100Mio) / 142,70 Mio) / ln (1,08)
DUR = 13,39
Die tatsächliche Duration beträgt jedoch 10,84 (mit Excel über eine Tabelle ausgerechnet).
Wie lässt sich diese Abweichung erklären?
Gibt es eine Möglichkeit die Duration bei längeren Laufzeiten auf einem einfachen Weg genau zu berechnen?
Grüße,
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo Sebastian,
> Eine Kuponanleihe mit einem Nominalzins von 12% und einem
> Nennwert von 100 Mio EUR hat eine Restlaufzeit von 25
> Jahren. Die Marktrendite über alle Laufzeiten beträgt 8%.
> Berechnen Sie die Duration der Anleihe.
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zur Berechnung der Duration bei
> Kuponanleihen mit langen Laufzeiten.
> Wir haben üblichweise die Duration über eine Tabelle
> ermittelt, dies ist jedoch bei langen Laufzeiten (wie hier
> 25 Jahre) sehr aufwendig.
>
> Ich habe für die Aufgabe folgenden Ansatz:
>
> Variablen:
>
> y: Rendite
> CF: Cash Flow (Auszahlungsbetrag)
> ABWF: Annuitäten Barwert Faktor
> n: Laufzeit
> NW: Nennwert der Anleihe
> P: Preis der Anleihe (Summe der Barwerte der CF)
> DUR: Duration
>
>
> zunächst wird der Preis berechnet
> P = CF * ABWF8%,25J + [mm]100/1+y^n[/mm]
> P = 12 Mio * 10,6748 + 100/1,08^25
> P = 142,70 Mio
>
> Soweit ist alles OK.
>
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da ein Zero Bond nach der Duration die Summe der
> Nettoauszahlungen auszahlen muss um eine mit der
> Kuponanleihe gleiches Zinsänderungsrisiko und Rendite zu
> haben habe ich folgende Formel aufgestellt:
>
> y = ((Summe CF + NW) / P)^(1/DUR) -1
>
> nach der Duration aufgelöst
>
> DUR = ln ((Summe CF + NW) / P) / ln (y+1)
>
> DUR = ln((25*12Mio + 100Mio) / 142,70 Mio) / ln (1,08)
> DUR = 13,39
>
> Die tatsächliche Duration beträgt jedoch 10,84 (mit Excel
> über eine Tabelle ausgerechnet).
>
> Wie lässt sich diese Abweichung erklären?
> Gibt es eine Möglichkeit die Duration bei längeren
> Laufzeiten auf einem einfachen Weg genau zu berechnen?
>
>
Die Berechnung kannst du nach folgender Formel machen:
[mm] D = \bruch{1+i}{i} - \bruch{q*C_n + n*(Z-iC_n)}{Z*(q^n -1) + iC_n}[/mm]
D = Duration
Z = Kupon
q = Marktzinsfaktor, q = 1+i
n = Restlaufzeit der Anleihe
[mm] C_n [/mm] = Rücknahmekurs
mit deinen Zahlenwerten:
D = [mm]\bruch{1,08}{0,08} - \bruch{1,08*100 + 25*(12- 0,08*100)}{12*(1,08^{25}-1) + 0,08*100}[/mm]
D = 10,84
Viele Grüße
Josef
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Danke für die Antwort.
Ist denn die Formel mit dem Logarithmus korrekt? Wenn ja, wie kommt es zu solchen Abweichungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Do 01.06.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo Sebastian,
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> Ist denn die Formel mit dem Logarithmus korrekt? Wenn ja,
> wie kommt es zu solchen Abweichungen?
deine Formel kenne ich leider nicht. Deshalb kann ich dazu nichts sagen.
Die Duration für endfällige Kupon-Anleihen läßt sich auch nach der kürzeren Formel errechnen:
[mm]D = \bruch{1,08}{0,08} - \bruch{1,08+25(0,12-0,08)}{0,12(1,08^{25}-1)+0,08}[/mm]
D = 10,83953...
dabei gilt:
Kurs und Kupon in dezimaler Schreibweise
Z = 12% = 0,12
[mm] C_n [/mm] = 100% = 1
i = 0,08
n = 25
Viele Grüße
Josef
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