Durchstosspunkt < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Gerade a:
[mm] \vektor{10 \\ 2 \\ 3} [/mm] + k [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Hier komme ich nicht mehr klar, wie ich nun den Durchstosspunkt erhalte.
Vielen Dank
Gruss Dinker
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Dinker |
Was sind die 9 + [mm] 6\mu? [/mm] Ich seh die nicht in der Aufgabenstellung...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Auch habe ich Schwierigkeit mit der Begriff Ebene, da ich noch nicht wirklich im Raum rechnete.......
Da steht ja Ebene E: x - 2y + z = 0
Ich kann mir das einfach nicht vorstellen, wie das gemeint ist....
Gruss Dinker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
In einer Ebene: 2x + 3y + 3 = 0
Paramterform: z. B.
g: [mm] \vektor{1 \\ \bruch{5}{3}} [/mm] + k* [mm] \vektor{3 \\ -2}
[/mm]
Nun wie sieht dies in der Ebene aus?
2x + 3y + 3z = 0
Wie lässt sich dies in die Parameterform umwandeln?
Danke
Gruss Dinker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mo 31.08.2009 | | Autor: | zetamy |
> In einer Ebene: 2x + 3y + 3 = 0
>
> Paramterform: z. B.
>
> g: [mm]\vektor{1 \\ \bruch{5}{3}}[/mm] + k* [mm]\vektor{3 \\ -2}[/mm]
Erstmal, g ist eine Gerade, denn g ist nur von einem Paramter, $k$, abhängig. Zudem ist der Stützvektor nicht korrekt. Sieht mir nach einem Vorzeichenfehler in der Rechnung aus. Richtig ist
$g: [mm] \vektor{ 1\\ \frac{1}{3}} [/mm] + [mm] k\cdot\vektor{3\\-2}$.
[/mm]
> Nun wie sieht dies in der Ebene aus?
>
> 2x + 3y + 3z = 0
>
> Wie lässt sich dies in die Parameterform umwandeln?
Für eine Ebene benötigen wir zwei Parameter, da eine Eben in zwei Richtungen gehen kann. Lösen wir z. B. die Gleichung nach $x$ auf, erhalten wir
$x = [mm] -\frac{3}{2}\cdot [/mm] y - [mm] \frac{3}{2}\cdot [/mm] z$.
Für $y= [mm] 1\cdot [/mm] s$ und $y= [mm] 1\cdot [/mm] t$ erhalten wir:
[mm] $\vektor{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] + [mm] \vektor{-\frac{3}{2}\\1\\0}\cdot [/mm] s + [mm] \vektor{-\frac{3}{2}\\0\\1}\cdot [/mm] t = [mm] \vektor{-3\\2\\0}\cdot [/mm] s + [mm] \vektor{3\\0\\2}\cdot [/mm] t$.
Der Stützvektor ist hier der Nullvektor, da der skalare Anteil in der Koordinatenform den Wert Null hat.
Gruß, zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Di 01.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Danke für die Erklärung.
Leider kann ich nur sagen: Schön erklärt, aber leider wenig verstanden.
Gruss Dinker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Di 01.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Was natürlich auf meine mangelnde Auffassungsgabe zuzrückzuführen ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Di 01.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Dinker.
die koordinatendarstellung einer Ebene
3x+4y-z=3
kannst du auch schreiben als
[mm] \vektor{3 \\ 4 \\ -1}*\vektor{x \\ y\\ z}=4
[/mm]
der Vektor [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ -1} [/mm] steht senkrecht auf der Ebene.
du kannst aus der Koordinatengleichung etwa 3 punkte der Ebene bestimmen: etwa: P1: x1=0,y1=0,z1=-4 P2:x2=0, y2=3/4 z2=0
P3 :x3=1, y3=0, z3=0
Damit kannst du dann die Parameterdarstellung haben
[mm] \vec{x}=P1+r*\vec{P1P2}+s*\vec{P1P3}
[/mm]
also einen Aufpunkt P + 2 beliebige Vektoren, die in der Ebene liegen ergeben jeden Punkt der Ebene.
jetzt klar?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Di 01.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ehrlich gesagt versteh ich da nochw eniger
Aber trotzdem danke
Gruss Dinker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mo 31.08.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
die Notation der Gerade $a$ im Beispiel ist etwas schlampig.
$a: [mm] \vektor{x\\ y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{10 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] \mu\cdot\vektor{1 \\ -2 \\ 1}$, [/mm] das heißt [mm] $\begin{matrix} x &=& 10+\mu \\ y &=& 2-2\mu \\ z &=& 3+\mu \end{matrix}$.
[/mm]
Der Schnittpunkt bzw. Durchstoßpunkt der Geraden $a$ und der Ebene $E: x - 2y + z = 0$ ergibt sich durch Einsetzen der Geraden in $E$, also:
$0 = x - 2y + z = [mm] (10+\mu) [/mm] - [mm] 2\cdot (2-2\mu) [/mm] + [mm] (3+\mu) [/mm] = [mm] \dots [/mm] = 9 + [mm] 6\mu\ \Rightarrow\ 0=9+6\mu$
[/mm]
Den letzten Ausdruck, [mm] $0=9+6\mu$, [/mm] nach [mm] $\mu$ [/mm] umgestellt und in $a$ eingesetzt liefert den Durchstoßpunkt.
Gruß, zetamy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Danke, das ist nun soweit klar
Gruss Dinker
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