E-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Di 02.02.2010 | | Autor: | Krone |
| Aufgabe | d) Zeigen sie, dass es eine Stelle [mm] t_{0} [/mm] mit 0 [mm] \le t_{0} [/mm] < 2 gibt, für die [mm] g'(t_{0}+2) [/mm] = [mm] h'(t_{0}) [/mm] gilt.
Berechnen sie [mm] g'(t_{0}+2). [/mm] |
Hey.
Also in dem Falle sind:
g'(t) = 10t * [mm] e^{2-t}
[/mm]
h'(t) = [mm] 10e^{-1+0,5t}
[/mm]
der Ansatz war dann folgender:
[mm] (10t_{0}+20)*e^{-t_{0}} [/mm] = [mm] 10e^{-1+0,5t_{0}}
[/mm]
dann hab ich das weiter aufgelöst:
[mm] \bruch{e^{-t_{0}}}{e^{-1+0,5t_{0}}} [/mm] = [mm] \bruch{10}{10t_{0}+20}
[/mm]
wenn ich aber jetzt den logarithmus einsetze, hab ich zwar die E-Funktion weg, auf der rechten Seite aber das [mm] t_{0} [/mm] im Logarithmus.
Stimmt da an der Rechnung was nicht mit oder wie komm ich hier weiter ?
Gruß
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Hallo,
wenn die Funktionen wirklich so gegeben sind, wie du es schreibst, kannst du [mm] t_{0} [/mm] nicht explizit ausrechnen. (Deswegen prüfe nochmal nach, ob du die Funktionen richtig abgeleitet hast, etc., beim nächsten Post Originalfunktionen mitschicken!).
Das hängt daran, dass eben solche Gleichungen der Form x = [mm] e^{x} [/mm] nicht elementar lösbar sind.
Da du es bei g'(x) und h'(x) aber mit stetigen Funktionen zu tun hast, könntest du ja mal die Funktion
[mm] $g'(t_{0}+2) [/mm] - [mm] h'(t_{0})$
[/mm]
betrachten. Wenn die für ein [mm] t_{0}\in[0,2] [/mm] eine Nullstelle hat, folgt ja genauso die Behauptung.
Benutze dafür am besten den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, d.h. setze 0 und 2 mal für [mm] t_{0} [/mm] ein und prüfe, ob einmal was positives und einmal was negatives rauskommt.
Trotzdem macht dann irgendwie die zweite Teilaufgabe wenig Sinn...
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Di 02.02.2010 | | Autor: | Krone |
> Hallo,
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> wenn die Funktionen wirklich so gegeben sind, wie du es
> schreibst, kannst du [mm]t_{0}[/mm] nicht explizit ausrechnen.
> (Deswegen prüfe nochmal nach, ob du die Funktionen richtig
> abgeleitet hast, etc., beim nächsten Post
> Originalfunktionen mitschicken!).
die Stammfunktionen waren:
h(t) = [mm] 20*e^{-1+0,5t}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t < 2
g(t) = [mm] 30-10e^{2-t}, [/mm] t [mm] \ge [/mm] 2
> Das hängt daran, dass eben solche Gleichungen der Form x
> = [mm]e^{x}[/mm] nicht elementar lösbar sind.
>
> Da du es bei g'(x) und h'(x) aber mit stetigen Funktionen
> zu tun hast, könntest du ja mal die Funktion
also es is so, dass h(t), bis t=2 geht, und die funktion sich dann teilt in g(t) und f(t), die aber für die Teilaufgabe nicht von belang ist ... Die Funktion ist stetig ...
kannst du mir jetzt weiterhelfen ? Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Di 02.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Krone!
Du hast $g(t)_$ falsch abgeleitet. Da ist der Faktor $t_$ zuviel.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 02.02.2010 | | Autor: | Krone |
aja ... klar ... mann, bin heute neben der spur ...
ok,dann wär der ansatz der :
[mm] 10e^{-t_{0}} [/mm] = [mm] 10e^{-1+0,5t_{0}}
[/mm]
= [mm] t_{0} [/mm] = [mm] -1+0,5t_{0}
[/mm]
[mm] t_{0} [/mm] = -2
das ergebnis muss aber laut aufgabe zwischen 0 und 2 liegen ...
maaaaaaaaaan
ok, fehler entdeckt.
vorzeichenfehler als flüchtigkeit ... dann käm ja [mm] t_{0} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
ist das dann richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Di 02.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Krone!
Warum veränderst Du die Ableitung $g'(t)_$ nochmals? Ich hatte doch direkt gesagt, was falsch ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Di 02.02.2010 | | Autor: | Krone |
> Hallo Krone!
>
>
> Warum veränderst Du die Ableitung [mm]g'(t)_[/mm] nochmals? Ich
> hatte doch direkt gesagt, was falsch ist.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
hä ?
ich hab doch nur das t rausgestrichen ... was ist denn jetzt daran falsch ?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Di 02.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Krone!
Im Exponenten muss es noch immer [mm] $\red{2}-t$ [/mm] heißen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Di 02.02.2010 | | Autor: | Krone |
aber das hab ich doch gar nicht geändert ...
aber im ansatz heisst es ja : [mm] g'(t_{0}+2) [/mm] = ...
dadurch fällt die -2 im exponent doch weg (?)
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Di 02.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Krone!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Da hast Du mich erwischt ... daran hatte ich nicht mehr gedacht: Du hast Recht.
Damit stimmt auch der Wert [mm] $t_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Di 02.02.2010 | | Autor: | Krone |
hehe 
aber danke für deine Hilfe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Di 02.02.2010 | | Autor: | chrisno |
[mm] $t_0+2$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Di 02.02.2010 | | Autor: | Krone |
| Aufgabe | e) Zeigen siedurch partielle Integration, dass die Funktion F mit F(t) = [mm] -40*(t+1)*e^{1-0,5t} [/mm] eine Stammfunktion der Funktion f(t) = [mm] 20*(t-1)*e^{1-0,5t} [/mm] ist.
[Sie können dazu verwenden, dass die Funktion R mit R(t) = [mm] -2*e^{1-0,5t} [/mm] eine Stammfunktion der Funktion r mit r(t) = [mm] e^{1-0,5t} [/mm] ist. |
Hä ?
durch die Zusatzinformation wird doch klar, dass man f(t) nur mit -2 multiplizierren muss, um auf die Stammfunktion zu kommen.
Wieso ändert sich dann das Vorzeichen in der Klammer vor dem e ?
Oder ist das nur ein Tippfehler in meiner Aufgabe ?
Gruß
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Hallo,
> e) Zeigen siedurch partielle Integration, dass die Funktion
> F mit F(t) = [mm]-40*(t+1)*e^{1-0,5t}[/mm] eine Stammfunktion der
> Funktion f(t) = [mm]20*(t-1)*e^{1-0,5t}[/mm] ist.
>
> [Sie können dazu verwenden, dass die Funktion R mit R(t) =
> [mm]-2*e^{1-0,5t}[/mm] eine Stammfunktion der Funktion r mit r(t) =
> [mm]e^{1-0,5t}[/mm] ist.
> Hä ?
> durch die Zusatzinformation wird doch klar, dass man f(t)
> nur mit -2 multiplizierren muss, um auf die Stammfunktion
> zu kommen.
> Wieso ändert sich dann das Vorzeichen in der Klammer vor
> dem e ?
> Oder ist das nur ein Tippfehler in meiner Aufgabe ?
Das ist (vermutlich) kein Tippfehler. Durch die Zusatzinformation hast du doch erstmal lediglich eine Stammfunktion von [mm] e^{1-0,5t} [/mm] gegeben. Deine Funktion f(t) ist aber nicht [mm] e^{1-0,5t} [/mm] , sondern besteht aus einem Produkt!
Und das Integral eines Produkts ist nicht das Produkt der Integrale der Faktoren!
Wie in der Aufgabenstellung verlangt, solltest du deswegen partielle Integration durchführen. Der Hinweis mit der Stammfunktion ist gewissermaßen nur ein Hinweis, was du bei der partiellen Integration als "abzuleitende" und was als "zu integrierende" Funktion zu wählen hast.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Di 02.02.2010 | | Autor: | Krone |
okay ...
heisst das mit der partiellen integration, dass ich das mit Produktintegration versuchen muss ?
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Hallo,
> okay ...
> heisst das, ich muss das mit Produktintegration versuchen ?
Falls ihr "partielle Integration" als "Produktintegration" kennen gelernt habt - ja  !
Am Besten, du schreibst dann, wenn du zu dieser Aufgabe weitere Probleme hast, deine Rechenschritte, die du bei der Produktintegration getätigt hast, in deinen nächsten Post.
Grüße,
Stefan
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Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > okay ...
> > > heisst das, ich muss das mit Produktintegration versuchen ?
> >
> > Falls ihr "partielle Integration" als "Produktintegration"
> > kennen gelernt habt - ja !
>
> ja, partielle integtarion hab ich noch nie gehört
Ok
> > Am Besten, du schreibst dann, wenn du zu dieser Aufgabe
> > weitere Probleme hast, deine Rechenschritte, die du bei der
> > Produktintegration getätigt hast, in deinen nächsten
> > Post.
>
> mach ich doch immer (?). Oder meinst du en ganz neuen
> Thread ?
Nein, nein, ich meine diesen.
War bloß eine Präventivmaßnahme und kein Vorwurf
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Di 02.02.2010 | | Autor: | Krone |
aso okay... also ich hab mal was versucht:
f(t) = 20* (t-1) [mm] *e^{1-0,5t}
[/mm]
gewählt hab ichs so, dachte das wär am sinnvollsten:
u(x) = 20*(t-1)
v'(x) = [mm] e^{1-0,5t}
[/mm]
dann wär das laut Produktintegration:
[mm] [-40*(t-1)*e^{1-0,5t}] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{(-40)*e^{1-0,5t} dt}
[/mm]
so ... weiter komm ich da nicht, ist die erste produktintegration, die ich seit über 1 jahr mache und dann auch noch ohne integralgrenzen ...
wie lös ich das weiter auf ? bzw. stimmt der ansatz überhaupt ?
Gruß
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Hallo,
> aso okay... also ich hab mal was versucht:
>
> f(t) = 20* (t-1) [mm]*e^{1-0,5t}[/mm]
>
> gewählt hab ichs so, dachte das wär am sinnvollsten:
>
> u(x) = 20*(t-1)
> v'(x) = [mm]e^{1-0,5t}[/mm]
>
> dann wär das laut Produktintegration:
>
> [mm][-40*(t-1)*e^{1-0,5t}][/mm] - [mm]\integral_{}^{}{(-40)*e^{1-0,5t} dt}[/mm]
Bis hierher stimmts
> so ... weiter komm ich da nicht, ist die erste
> produktintegration, die ich seit über 1 jahr mache und
> dann auch noch ohne integralgrenzen ...
Du hast nun nur noch das hintere Integral aufzulösen, und das kannst du, weil du kennst doch die Stammfunktion von [mm] e^{1-0.5*t}, [/mm] der Rest im Integral ist doch nur ein konstanter Faktor, den du rausziehen kannst.
Du hast nun also bereits:
[mm] $\int [/mm] f(t) dt = [mm] \int 20*(t-1)*e^{1-0.5t} [/mm] dt = [mm] -40*(t-1)*e^{1-0.5t} [/mm] - [mm] (-40)*\int *e^{1-0.5t} [/mm] dt$
$= [mm] -40*(t-1)*e^{1-0.5t} +40*\int *e^{1-0.5t} [/mm] dt$
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 02.02.2010 | | Autor: | Krone |
> Du hast nun also bereits:
>
> [mm]\int f(t) dt = \int 20*(t-1)*e^{1-0.5t} dt = -40*(t-1)*e^{1-0.5t} - (-40)*\int *e^{1-0.5t} dt[/mm]
>
> [mm]= -40*(t-1)*e^{1-0.5t} +40*\int *e^{1-0.5t} dt[/mm]
>
> Grüße,
> Stefan
ok ... das integral kann ich ja auflösen, da ich die stammfunktion ja kenne ...
= [mm] -40*(t-1)*e^{1-0.5t} [/mm] +40* [mm] (-2)*e^{1-0.5t} [/mm]
jetzt werd ich wieder stutzig ... ich komm nicht auf das ergebnis ...
wenn ich die e-funktion ausklammer, hab ich doch:
[(-40)*(t-1)*(-80)] * [mm] e^{1-0,5t}
[/mm]
stimmt die umformung nicht ?
oder wie komm ich hier weiter um aufs richtige ergebnis zu kommen ? hab hier rumgerechnet, aber passt irgendwie nicht ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Di 02.02.2010 | | Autor: | Krone |
aaaaja klar ... danke =)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Genau.
