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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Do 23.09.2010 | | Autor: | nepomuk |
| Aufgabe | Aufgabe*
Nils überlegt :”Der Term [mm] 1+\frac{1}{n} [/mm] hat als Grenzwert für [mm] n\Longrightarrow\infty [/mm] den Wert 1 .Für jede beliebige Zahl n ist [mm] 1^{n}=1,also [/mm] gilt : [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=1)
[/mm]
Nimm Stellung dazu. |
Hallo,
Meine Begründung bezieht sich auf die Potenzgesetze:
da der Term [mm] 1+\frac{1}{n}=1 [/mm] für [mm] n->\infty [/mm] gegen 0 bzw. unendlich Strebt wird der Summand sehr klein bzw. nähert sich 0.
[mm] \Rightarrow1+0=0 [/mm]
und da [mm] 1^{n} [/mm] für Zahlen <1 immer eins gilt,gilt folgendes:
[mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=1).
[/mm]
doch was passiert mit zahlen n<1??und liege ich mit meinen Vermutungen so halbwegs richtig??In welche Richtung könnte man noch argumentieren?
NEPOMUK...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Aufgabe*
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> Nils überlegt :”Der Term [mm]1+\frac{1}{n}[/mm] hat als Grenzwert
> für [mm]n\Longrightarrow\infty[/mm] den Wert 1 .Für jede beliebige
> Zahl n ist [mm]1^{n}=1,also[/mm] gilt :
> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=1)[/mm]
> Nimm Stellung dazu.
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> Hallo,
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> Meine Begründung bezieht sich auf die Potenzgesetze:
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> da der Term [mm]1+\frac{1}{n}=1[/mm] für [mm]n->\infty[/mm] gegen 0 bzw.
> unendlich Strebt wird der Summand sehr klein bzw. nähert
> sich 0.
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> [mm]\Rightarrow1+0=0[/mm]
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> und da [mm]1^{n}[/mm] für Zahlen <1 immer eins gilt,gilt
> folgendes:
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> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=1).[/mm]
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> doch was passiert mit zahlen n<1??und liege ich mit meinen
> Vermutungen so halbwegs richtig??In welche Richtung könnte
> man noch argumentieren?
du hast als überschrift "e-funktion" und meinst dann später, dass
[mm] \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1?
[/mm]
ich kenne diesen grenzwert nur als e.
und hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)#Rechenregel
gibt es keine regel, die keine einzelnen betrachtungen legitim machen würde!
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> NEPOMUK...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:58 Do 23.09.2010 | | Autor: | nepomuk |
hääh...ich weiß gerade nicht was von du mir willst???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Do 23.09.2010 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
tee meint damit, dass der Grenzwert nicht [mm]1[/mm] sonder gleich der Euler-Zahl [mm]e[/mm] ist.
Die Grenzwertbetrachtung: [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} 1+\frac{1}{n} = 1[/mm] und [mm]1^n=1 \,\forall n\in\mathbbm{N}[/mm] also [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1[/mm] ist eben nicht gueltig!
Warum nicht?
Man muss das 'Wechselspiel' betrachten, dass zwar einerseits mit wachsendem $n$ die Klammer immer mehr gegen $1$ geht, aber man dafuer 'immer oefter' die Klammer mit sich selbst multipliziert, was man nicht einfach 'ignorieren' darf, weil ja das $n$ eben noch im Exponentne der Klammer steht.
Was tee damit meinte ist:
Es gibt keine Limes-Regel, die besagt, dass man zuerst den Limes in die Klammer ziehen darf, d.h. erst den besagten Limes ausfuehren darf, der dann $1$ ergibt, und dann den Limes im Exponenten ausfhueren darf, denn dann wuerde man zu dem (falschen) Ergebnis kommen, dass der Limes gleich 1 ist.
Diese Annahme ist aber falsch, da man in dem Fall ignoriert, dass ja die Anzahl der Faktoren in dem Grenzfall auch mit $n$ steigt.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:27 Do 23.09.2010 | | Autor: | nepomuk |
die Schreibweise mit dem Limes in der Klammer war nicht so angedacht.Leider habe ich folgende Schreibweise nicht hinbekommen:
$ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} 1+\frac{1}{n} [/mm] = 1 $
ich hab sie jetzt mal von dir ab geguckt.:)
Demzufolge würde dann beiden Exponentwerten n>1 die Werte in der Klammer ansteigen und bei Werten n>1 die Werte wieder abfallen.Bei n=1 nehmen die Klammerwerte den höchsten Wert an,stimmts?
Auch wenn ich mal nach der Wichtigkeit von Folgen und Reihen bezüglich Abiturprüfungen gefragt habe,ist es jetzt reiner Zufall, das es sich um solch eine Aufgabe handelt.ich habe versucht mit rein logischen Denken an die Aufgabe ranzugehen,ohne Grudnwissen über Folgen und Reihen-vielleicht sollte das mal nebenbei mal erwähnt werden.
NEPOMUK
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eliza |
Hallo Nepomuk!
Also, ich muss leider sagen, dass deine Argumentation (zumindest für mich) absolut keinen Sinn macht. Der Grenzwert der Folge [mm]a_n=\left(1+\br{1}{n}\right)^n[/mm] ist definitiv [mm]e[/mm] (die Eulersche Zahl). Die Aufgabenstellung ist so zu verstehen, dass du erklären sollst, warum die Argumentation von "Nils" falsch ist. Die Erklärung dafür haben Fencheltee und Kroni dir schon geliefert! Ich glaube nicht, dass es sinnvoll ist, sich ohne Grundwissen über Folgen mit dieser Aufgabe zu beschäftigen!
Grüße Eliza
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Hallo,
im Gegensatz zu Eliza finde ich durchaus, daß man sich mit Gewinn und Spaß ohne Vorkenntnisse mit dieser Folge beschäftigen kann.
Die Frage "Was ist [mm] \lim_{n\to \infty }(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] ?" bedeutet:
Was passiert mit dem Ausdruck [mm] (1+\bruch{1}{n})^n, [/mm] wenn man immer größere, riesengroße, Zahlen einsetzt?
Dein Nils denkt das, was wohl viele zuerst denken würden: wenn ich für n immer größere zahlen einsetze, nähert sich der Ausdruck [mm] 1+\bruch{1}{n} [/mm] der 1 (in Zeichen: [mm] \lim_{n\to \infty}(1+\bruch{1}{n})=1), [/mm] und wenn ich die hoch irgendeine Zahl nehme, bleibt's 1. Das ist aber, wie schon von Kroni begründet, falsch.
Es wachsen ja das n im Nenner und und im Exponenten nicht unabhängig voneinander, sondern gleichzeitig.
Berechne doch mal für n=1,2,3,4,5,...,10,..., 100,... 1000, was für [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] herauskommt.
Du wirst sehen, daß sich der Ausdruck einer von 1 verschiedenen Zahl nähert, und diese nennt man e.
Nochmal zu Nils' Fehler: Nils berechnet nicht [mm] \lim_{n\to \infty }(1+\bruch{1}{n})^n, [/mm] sondern er berechnet [mm] \lim_{n\to \infty }(\lim_{n\to\infty}(1+\bruch{1}{n}))^n.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist ja alles Relevante schon gesagt worden, dennoch eine Bemerkung. Dass "Nils" sich irrt sieht man schon an folgender Abschätzung, die man mit der Bernoullischen Ungl. bekommt:
[mm] $(1+1/n)^n \ge 1+n*\bruch{1}{n} [/mm] =2$ für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Der Grenzwert kann also nicht = 1 sein
FRED
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