EULERsche-Phi-Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:39 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Arnbert |
Hallo!
Brauche ganz dringend Hilfe und wäre nett wenn ihr mir helfen könntet.
Also: m,n sind natürliche Zahlen, so dass jeder Primteiler von m auch ein Primteiler von n ist. Nun soll ich zeigen, dass dann [mm] \delta(mn)=\delta(n) [/mm] ist. wobei [mm] \delta [/mm] hier die Eulersche-Phi-Funktion ist.
Danke schon mal
Gruß Arnbert
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Hallo Arnbert,
fehlt da nicht irgendwas? Nimm z.B. $m=4, n=16$; die erfüllen die Voraussetzungen Deiner Aufgabe. Aber [mm] $\delta(mn)=2^6-2^5 \ne 8=\delta(n)$.
[/mm]
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Arnbert |
Ja natürlich..danke!
also man soll zu den Voraussetzungen zeigen, dass
[mm] \delta(mn) [/mm] = [mm] m*\delta(n) [/mm] ist.
Hoffe jetzt ist alles klarer und mir kann wer bei dieser Aufgabe helfen und mir erklären wie das hier funktioniert.
Bis bald Arnbert
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Hallo Arnbert,
OK, ich hoffe mal, daß die Eulersche [mm] $\varphi$-Funktion [/mm] (für $n >1$) so definiert wurde: [mm]\varphi(n)=\produkt_{p \in \Pi,p \mid n} n\left(1-\bruch{1}{p}\right)[/mm], wobei [mm] $\Pi$ [/mm] die Menge der Primzahlen bezeichnet.
Du schreibst, daß für $m,n [mm] \in \mathbb{n}$ [/mm] vorausgesetzt wird, daß $m$ die gleichen Primteiler hat wie $n$. Ich nehme an, daß gemeint ist: $p |m [mm] \gdw [/mm] p | n$ ($p$ Primzahl). (Beispielsweise stimmt die Formel nicht für $m=3, n=15$, wohl aber für $m=15, n=45$).
Z.z.: [mm] $\delta(mn)=m\delta(N)$, [/mm] wobei [mm] $\delta$ [/mm] die Eulersche [mm] $\varphi$-Funktion [/mm] bezeichnet.
[Jetzt wird's formal vielleicht etwas unsauber  ] $p$ sei ein Primteiler von $mn$, also folgt $p|m$ oder $p| n$. Was folgt dann aus der Äquivalenz $p | m [mm] \gdw [/mm] p | n$?
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Di 21.11.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
also es gilt:
[mm] $p|m\quad\Longrightarrow\quad [/mm] p|n$
und es muss keine Äquivalenz gelten. Die andere Richtung ist auch uninteressant und man benötigt sie gar nicht. Kurz: So wie die Aufgabe gestellt ist, gilt keine Äquivalenz. Sonst ist der Beweis ok.
Ciao Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 21.11.2006 | | Autor: | Arnbert |
Kannst du bitte noch einmal kurz erläutern warum dann aus p/m [mm] \Rightarrow [/mm] p/n die Behauptung folgt?
MfG Arnbert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Di 21.11.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
also du schreibst [mm] $\Phi(n\cdot [/mm] m)$ also Produkt wie es von Zahlenspieler beschriben wurde. Unter dem Produkt steht dann: Produkt über
[mm] $p|m\cdot [/mm] n$
also gilt: $p|n$ oder $p|m$. Falls $p|m$, so gilt nach Voraussetzung $p|n$. Also gilt
[mm] $p|m\cdot n\quad\Longrightarrow\quad [/mm] p|n$
somit kannst du anstatt das produkt über $p|nm$ das Produkt über $p|n$ betrachten. Dann formst du das ganze wieder um und erhälst
[mm] $\Phi(nm)=m\cdot\Phi(n)$
[/mm]
Ciao Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Di 21.11.2006 | | Autor: | Arnbert |
Hey dankeschön
Aber eine Sache interessiert mich jetzt noch...
Für welche Paare m,n aus den natürlichen Zahlen gilt dann
[mm] \delta(mn)=\delta(n), [/mm] wobei ja [mm] \delta [/mm] die EULERsche-Phi-Fkt. ist.
Hier bräuchte ich noch einmal Hilfe.
MfG Arnbert
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Hallo Arnbert,
[mm] $\delta$ [/mm] ist multiplikativ, d.h. für teilerfremde [mm] $m,n\in \IN$ [/mm] gilt [mm] $\delta(mn)=\delta(m)\delta(n)$. [/mm] Für welche $m$ ist [mm] $\delta(m)=1$?
[/mm]
Mfg
zahlenspieler
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