E(tanh(X)) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:35 Sa 27.08.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo,
folgende Annahme: X sei symmetrisch um Null verteilt mit Varianz [mm] V(X)=J^2
[/mm]
(oder auch vereinfachenderweise X sei normalverteilt [mm] X~N(0,J^2)). [/mm] Ferner sei a>0 konstant.
Versuche nun folgendes zu zeigen:
[mm]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=3}^{\infty}[E(\tanh(\bruch{aX}{\wurzel{n}}))^2]^k*\bruch{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{2k}=\sum_{k=3}^{\infty}\bruch{(aJ)^{2k}}{2k}[/mm]
Komme hier überhaupt nicht weiter.
1. Kann man hier Summation und Limesprozess einfach vertauschen?
2. Lassen sich hier Erwartungswertbildung und Limesprozess vertauschen?
(Satz von der majorisierten Konvergenz, [mm] |tanh(\bruch{aX(\omega)}{\wurzel(n)})|\le [/mm] 1 für alle [mm] n\in\IN [/mm] und alle [mm] \omega\in\IR [/mm] ?)
3. Hatte mir überlegt, dass ja eigentlich [mm] E(tanh(aX))^2=0 [/mm] sein müsste,
denn X ist symmetrisch um 0 und [mm] (tanh(ax))^2 [/mm] ist eine gerade Funktion, aber kann ja schlecht sein, dann wäre der Limes auch 0...
Wäre super,wenn ihr mir hier weiterhelfen könntet. Danke!
LG
Fry
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Sa 27.08.2011 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich glaube nicht, dass ich dir hier weiterhelfen kann. Nur ein paar Ueberlegungen.
a) Mit deinem Punkt 3) hast du recht, wenn $ E^2(\tanh(aX))$ geneint waere, d.h. das Quadrat des Erwartungswertes, nicht jedoch fuer $ E(\tanh(aX)^2)$, also der Erwartungswert der quadrierten Zufallsvariablen. Ich vermute Letzteres ...
b) Ist der Ausdruck links genauso gemeint? Also letztendlich
$ \lim_{n\to\infty} \lim_{m\to\infty}\sum_{k=3}^m}[E(\tanh(\bruch{aX}{\wurzel{n}}))^2]^k\cdot{}\bruch{n\cdot{}(n-1)\cdot{}...\cdot{}(n-k+1)}{2k} $?
c) Hilft das hier weiter fuer jenen Ausdruck
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=3}^{\infty}[E(\tanh(\bruch{aX}{\wurzel{n}}))^2]^k(k-1)!\binom{n}{k} $?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Sa 27.08.2011 | | Autor: | Fry |
Hey Luis,
danke erstmal, dass du dir Gedanken gemacht hast :).
Wie kommst du auf a)? tanh ist doch selbst eine ungerade Funktion.
Hab mir jetzt mal folgendes zur Lösung überlegt:
Für [mm]x\to0[/mm] gilt: [mm]\tanh^2(x)=x^2[/mm] (also ungefähr)
Hab mir dazu die Taylorreihenentwicklung von [mm] $\tanh$ [/mm] angeschaut.
Dann gilt:
[mm]\sum_{k=3}^\infty}[E(\tanh(\bruch{aX}{\wurzel{n}}))^2]^k\cdot{}\bruch{n\cdot{}(n-1)\cdot{}...\cdot{}(n-k+1)}{2k}=\sum_{k=3}^\infty}\bruch{1}{2k}*a^{2k}*J^{2k}*(1-\bruch{1}{n})*(1-\bruch{2}{n})*...*(1-\bruch{k-1}{n})[/mm].
Und dieser Ausdruck konvergiert (unter Annahme 1) gegen den angegebenen Reihenwert.
Stimmt das wohl so?
Kann mir jemand sagen, warum ich hier die Limesbildung und Summation vertauschen darf?
Kann man nicht hier auch den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden? (könnte [mm] E(tanh(X)^2\le E(X^2) [/mm] verwenden. Dann würde man nach oben die Einzelsummanden durch (aJ)^2k abschätzen können)
LG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 So 28.08.2011 | | Autor: | Fry |
..bezüglich der Vertauschung von Summe und Limesbildung.
Ich meine das folgendermaßen: Die Summe kann ich ja umschreiben in ein Integral bezüglich des Zählmaßes auf [mm] (\IN_3,\mathcal P(\IN_3)) [/mm] und dann den Satz von der maj. Konvergenz anwenden.
Gruß
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 So 28.08.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich denke der Ansatz mit der Taylorreihe ist ganz gut. Du kannst die Reihe für [mm] \left[tanh\left(\bruch{aX}{\wurzel{n}}\right)\right]^2 [/mm] auch komplett hinschreiben und nicht nur das erste Glied. Dann sieht man, dass das erst Glied von [mm] E\left(\left[tanh\left(\bruch{aX}{\wurzel{n}}\right)\right]^2\right) [/mm] des Ausdruck [mm] \bruch{a^2J^2}{n} [/mm] ergibt und die anderen Glieder der Reihe [mm] \sim \bruch{a^{2i}*E(X^{2i})}{n^i} [/mm] sind.
D.h. [mm] E\left(\left[tanh\left(\bruch{aX}{\wurzel{n}}\right)\right]^2\right)*\left[n\cdot{}(n-1)\cdot{}...\cdot{}(n-k+1)\right]^{\bruch{1}{k}} [/mm] konvergiert für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] gegen [mm] a^2J^2 [/mm] weil außer dem ersten Glied der Reihe alle anderen Reihenglieder gegen Null konvergieren und damit
[mm] \lim_{n\to\infty}\sum_{k=3}^{\infty}\left[E\left(\left[tanh\left(\bruch{aX}{\wurzel{n}}\right)\right]^2\right)\right]^k\cdot{}\bruch{n\cdot{}(n-1)\cdot{}...\cdot{}(n-k+1)}{2k}=\sum_{k=3}^{\infty}\bruch{(aJ)^{2k}}{2k} [/mm] gilt.
Allerdings gilt das nur im Konvergenzbereich der Reihenentwicklung.
Übrigen was Luis52 meinte ist glaube ich das gilt E[tanh(x)]=0 weil tanh(x) eine ungerade Funktion ist und die Verteilung von x eine Gerade Funktion ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 28.08.2011 | | Autor: | Fry |
Danke Ullim,
wie würde denn die Taylorreihenentwicklung lauten?
Hatte einfach die von TE von Tangens Hyperb. 1.Ordnung genommen und quadrariert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 So 28.08.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
wie die Entwicklung in eine Taylorreihe genau aussieht habe ich ich mir nicht überlegt. Meine Überlegung war wie folgt:
1. [mm] tanh(x)^2 [/mm] ist eine gerade Funktion, also besteht die Taylorreihe nur aus geradzahligen Potenzen
2. Der Koeffizient des ersten Terms ist 1 und [mm] E\left(X^2\right)=J^2
[/mm]
deswegen habe ich auch geschrieben die Terme höherer Ordnung sind proportonial zu [mm] \bruch{a^{2i}\cdot{}E(X^{2i})}{n^i} [/mm] weil die genauen Koeffizienten nicht wirklich eine Rolle spielen.
Solange die höheren Momente [mm] E\left(X^{2i}\right) [/mm] existieren und endlich sind sorgt der Faktor [mm] n^i [/mm] im Nenner dafür, dass diese Terme in Verbindung mit [mm] n\cdot{}(n-1)\cdot{}...\cdot{}(n-k+1) [/mm] gegen Null konvergieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 So 11.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
