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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:13 Di 30.12.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | | Gegeben sind [mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ a}+r\cdot\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+s\cdot\vektor{b \\ c \\ 2} [/mm] und [mm] E_{2}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot\vektor{4 \\ 1 \\ 2}+s\cdot\vektor{d \\ 1 \\ -1}. [/mm] Wie müssen die reellen Zahlen [mm] \\a,b,c [/mm] und [mm] \\d [/mm] gewählt werden, damit sich die beiden Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] schneiden? |
Quelle: Lineare Algebra und Analytische Geometrie
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| Aufgabe | [mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ a}+r\cdot\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+s\cdot\vektor{b \\ c \\ 2} E_{2}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot\vektor{4 \\ 1 \\ 2}+s\cdot\vektor{d \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Bestimme die reellen Zahlen a,b,c und d, damit die Ebenen sich schneiden ! |
Es sind also 4 reelle Zahlen zu bestimmen !
Habe zuerst die Gleichungen gleichgesetzt und dann jeweils nach a,b,c und d aufgelöst.
Dann versuchte ich das Umformen von [mm] E_{2} [/mm] in die Koordinatenform und erhielt:
[mm] \vec{n}=\vektor{-3 \\ 2d+4\\ 4-d} [/mm] sowie [mm] E_{2}: [/mm] -3x+(2d+4)y+(4-d)z=d+2
Jetzt wusste ich nicht so richtig weiter. Meine Idee war, dass ich für a,b,c und d jeweils 3 Werte einsetzen musste, es bliebe also a,b,c oder d als Variable übrig, so dass ich, eingesetzt in das Lineare Gleichungssystem 3 Gleichungen mit den Unbekannten r, s und einem der übrig gebliebenen Unbekannten (a,b,c oder d) zu lösen hätte.
Nach Vorliegen der Lösung ginge ich nun weiter und suchte mir die nächste Variable aus, für die ich eine von mir gewählte Zahl einsetzen würde. Erneut ginge es um die Lösung eines LGS m(3 Gleichungen mit 3 Unbekannten). So müsste ich weiterrechnen, bis a,b,c und d eingesetzt wurden.
Ist es so richtig oder liege ich hier ganz falsch ? Mir kommt es irgendwie komisch vor !
Aufgabe 4 baut ja auf diese Aufgabe auf und kann somit von mir auch noch nicht bearbeitet werden.
Mit der Bitte um einen Tipp.
Schorsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
Ich würde hier von beiden Ebenen einen Normalenvektor ermitteln und dann untersuchen, für welche Werte der Parameter diese beiden Vektoren nicht linear abhängig sind.
Gruß
Loddar
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[mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ a}+r\cdot\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+s\cdot\vektor{b \\ c \\ 2} [/mm] und [mm] E_{2}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot\vektor{4 \\ 1 \\ 2}+s\cdot\vektor{d \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Beide Ebenen sollen sich schneiden. Wenn zwei Ebenen sich schneiden, dürfen beide Normalenvektoren nicht parallel zueinander (also linear abhängig voneinander) sein, die Normalenvektoren der einen Ebene dürfen auch nicht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene stehen, d.h. das Skalarprodukt muss ungleich Null sein !.
b,c und d sind so zu wählen, dass die o.g. Bedingungen erfüllt werden. Zum Schluss muss man noch a bestimmen. a ist y-Wert des Ortsvektors von [mm] E_1.
[/mm]
Ich habe folgende Normalenvektoren ermittelt:
[mm] \overrightarrow{n_1}=\vektor{-2-c \\ b-2 \\ b+c} [/mm] von [mm] E_1
[/mm]
[mm] \overrightarrow{n_2}=\vektor{-3 \\ 2d+4 \\ 4-d} [/mm] von [mm] E_2
[/mm]
[mm] 1.\overrightarrow{n_1}\not=\lambda\overrightarrow{n_2} [/mm] muss gelten
[mm] \vektor{-2-c \\ b-2 \\ b+c}\not=\lambda\vektor{-3 \\ 2d+4 \\ 4-d} [/mm]
als LGS geschrieben:
I: -2-c = [mm] -3\lambda
[/mm]
II: b-2 = [mm] (2d+4)\lambda
[/mm]
III: b+c = [mm] (4-d)\lambda
[/mm]
Wenn alle 3 Gleichungen mit nur 1 bestimmten [mm] \lambda [/mm] erfüllt werden, sind die Normalenvektoren linear abhängig und die Ebenen schneiden sich nicht ! Für [mm] \lambda=2 [/mm] würden b=6, c=4 und d=-1 die Gleichungen erfüllen.
Ich setze zum Beispiel c=4 und b=6. Dann ist gemäß I [mm] \lambda=2. [/mm] Für II und III darf [mm] \lambda [/mm] nun nicht gleich 2 sein, da in beiden Gleichungen b und d vorkommen. Es bleiben folgende Gleichungen übrig:
II: 4 = [mm] \lambda(2d+4) [/mm] und
III: 10 = [mm] \lambda(4-d) [/mm] dies ergibt ausmultipliziert und nach II-I:
6 = [mm] -3d\lambda \Rightarrow \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{2}{d} [/mm] man sieht sofort, dass für [mm] \lambda=2 [/mm] das d=-1 wird. Das wollen wir ja nicht !
Wir nehmen also vielleicht d=1, dann wären die Gleichungen
II: 4 = [mm] 6\lambda
[/mm]
III: 10 = [mm] 3\lambda [/mm] mit anderen [mm] \lambda-Werten [/mm] als in I
Jetzt setze ich b=6, c=4 und d=1 in die Parameterform der Ebenengleichungen ein und setze [mm] E_1=E_2. [/mm] Wenn die Ebenen sich schneiden, muss es hier eine Lösung für r, s und den y-Wert des einen Ortsvektors (hier: a) geben !
Ich habe nun ein LGS und erhalte
I: 3r - 5s = -1
II: 2r - 3s = -1
III: r - 3s = a-1 aus II und III erkenne ich, dass a=-r gelten muss.
Nun ermittle ich aus I und II r und s. Ich erhalte [mm] s=-\bruch{1}{4} [/mm] und [mm] r=-\bruch{3}{4}. [/mm] Damit ist auch [mm] a=-\bruch{3}{4}
[/mm]
Vielleicht muss ich auch mit der Koordinatengleichung der Ebene rechnen und zum Schluss zur Probe die Schnittgerade ermitteln.
Ich bin gespannt, inwieweit ich der Lösung dieser Augabe näher gekommen bin.
Schorsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schachschorsch!
Zunächst einmal musst Du ausschließen, dass gilt:
$$b \ = \ 2 \ \ [mm] \wedge [/mm] \ \ \ c \ = \ -2$$
Denn in genau diesem Falle sind die beiden Richtungsvektoren der Ebene [mm] $E_1$ [/mm] kollinear: es handelt sich um keine Ebene sondern lediglich um eine Gerade.
Man könnte nun untersuchen, für welches $d_$ diese Gerade nun exakt in [mm] $E_2$ [/mm] liegt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 04.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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