Ebene-Spiegelung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | a) Die Abbildung f mit der Matrix [mm] A=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 } [/mm] stellt eine orthogonale Spiegelung an einer Ebene dar.Bestimmen Sie eine Gleichung der Spiegelebene sowie die Spiegelungsrichtung.
b) Die Abbildung g macht die Abbildung f rückgängig (Umkehrabbildung).Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix G dieser Abbildung.Weisen Sie die Umkehreigenschaft allgemein nach. |
Hallo nochmal ^^
Ich hab hier eine weitere Aufgabe bei der ich nicht mehr weiterkomme.
zu a) Also ich weiß,wie man zu einer gegebenen Ebene die Abbildungsmatrix bestimmt.Aber zu einer Matrix die Ebene bestimmen,das weiß ich nicht.
Ich hab keinen Plan,wie ich hier rangehn soll.
Wenn man aus einer Ebene die Matrix bestimmt,dann ging das ja über das Lotfußpunktverfahren,aber das kann man hier doch nicht "rückwärts" gehn oder?
Hat jemand einen Tipp für mich,wie ich an die Aufgabe rangehen kann?
Vielen Dank
lg
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Ich weiß nicht, ob es die "Lehrbuchmethode" ist, aber meiner Ansicht nach könntest du:
1. Zu einem beliebigen Punkt (konkret) den Bildpunkt berechnen.
2. Überlege mal, wo die Ebene jetzt liegen muss und dass für die Ebenengleichung ein Normalenvektor und ein beliebiger Punkt reichen.
Vielleicht reicht das ja schon als Tipp  .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Ich weiß nicht, ob es die "Lehrbuchmethode" ist, aber
> meiner Ansicht nach könntest du:
> 1. Zu einem beliebigen Punkt (konkret) den Bildpunkt
> berechnen.
Ok,das hab ich mal gemacht.Ich hab mal beliebig den Punkt P(1/2/3) gewählt und der Bildpunkt dazu ist P'(3/2/5) (stimmt P' so,ich bin da nie ganz sicher ob ich Matrizen immer richtig mulipliziere?)
> 2. Überlege mal, wo die Ebene jetzt liegen muss und dass
> für die Ebenengleichung ein Normalenvektor und ein
> beliebiger Punkt reichen.
Normalenvektor ist ein gutes Stichvektor.Also was mir jetzt dazu einfällt,ist ,dass der Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{PP'}=\vektor{2 \\ 0 \\ 2} [/mm] parallel zum Normalenvektor sein muss,damit es eine orthogonale Spiegelung ist.Das heißt,könnte ich den einfach als Normalenvektor benutzen?
Dann könnte die Ebenengleichung so lauten: [mm] E:[\vec{x}-\vektor{3 \\ 2 \\ 5}]*\vektor{2 \\ 0 \\ 2} [/mm] ?
Was meinst du mit "wo die Ebene jetzt liegen muss"?
lg
> Vielleicht reicht das ja schon als Tipp .
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> > Ich weiß nicht, ob es die "Lehrbuchmethode" ist, aber
> > meiner Ansicht nach könntest du:
> > 1. Zu einem beliebigen Punkt (konkret) den Bildpunkt
> > berechnen.
>
> Ok,das hab ich mal gemacht.Ich hab mal beliebig den Punkt
> P(1/2/3) gewählt und der Bildpunkt dazu ist P'(3/2/5)
> (stimmt P' so,ich bin da nie ganz sicher ob ich Matrizen
> immer richtig mulipliziere?)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Stimmt!
>
> > 2. Überlege mal, wo die Ebene jetzt liegen muss und dass
> > für die Ebenengleichung ein Normalenvektor und ein
> > beliebiger Punkt reichen.
>
> Normalenvektor ist ein gutes Stichvektor.Also was mir jetzt
> dazu einfällt,ist ,dass der Verbindungsvektor
> [mm]\overrightarrow{PP'}=\vektor{2 \\ 0 \\ 2}[/mm] parallel zum
> Normalenvektor sein muss,damit es eine orthogonale
> Spiegelung ist.Das heißt,könnte ich den einfach als
> Normalenvektor benutzen?
Genau - der Verbindungsvektor der beiden Punkte muss ja senkrecht auf der Ebene stehen und IST somit einer der vielen Normalenvektoren.
> Dann könnte die Ebenengleichung so lauten:
> [mm]E:[\vec{x}-\vektor{3 \\ 2 \\ 5}]*\vektor{2 \\ 0 \\ 2}[/mm] ?
> Was meinst du mit "wo die Ebene jetzt liegen muss"?
Das wiederum stimmt jetzt nicht, denn der Punkt (3/2/5) liegt ja nicht auf deiner Spiegelebene drauf (es sei denn, es ist Zufall), du brauchst noch einen Punkt auf der Ebene.
Für den Punkt sehe ich ad hoc zwei "schnelle" Lösungen:
1. Der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Punkten muss auf der Ebene drauf liegen (das ist einfache Vektoraddition der richtigen Vektoren).
2. Du berechnest einen der Fixpunkte der Matrix, die müssen ja auch auf der Spiegelebene liegen. Das geht hier auch leicht, weil deine Matrix so viele 0er hat.
>
> lg
>
> > Vielleicht reicht das ja schon als Tipp .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ok vielen Dank =)
Die a) hab ich jetzt,fehlt noch die b).
Muss man bei der b) vielleicht irgendwas mit der inversen Matrix machen?
Oder kann ich hier auch einfahc einen beliebigen Punkt wählen und auf den die Matrix loslassen?
lg
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Hallo
> ok vielen Dank =)
> Die a) hab ich jetzt,fehlt noch die b).
>
> Muss man bei der b) vielleicht irgendwas mit der inversen
> Matrix machen?
> Oder kann ich hier auch einfahc einen beliebigen Punkt
> wählen und auf den die Matrix loslassen?
>
> lg
Genau.. wenn du die Rückabbildung anwendest, erhälst du die ursprüngliche Abbildung... D.h, die hintereinanderschaltung der Abbildungen ergibt die identische...
Und wenn A*B = E, was ist dann B? :)
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
>
> > ok vielen Dank =)
> > Die a) hab ich jetzt,fehlt noch die b).
> >
> > Muss man bei der b) vielleicht irgendwas mit der inversen
> > Matrix machen?
> > Oder kann ich hier auch einfahc einen beliebigen Punkt
> > wählen und auf den die Matrix loslassen?
> >
> > lg
>
> Genau.. wenn du die Rückabbildung anwendest, erhälst du
> die ursprüngliche Abbildung... D.h, die
> hintereinanderschaltung der Abbildungen ergibt die
> identische...
>
> Und wenn A*B = E, was ist dann B? :)
Ist B dann die Inverse?
lg
> Grüsse, Amaro
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> Ist B dann die Inverse?
Genau
(Wie macht man so einen coolen Daumen-hoch?)
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> > Ist B dann die Inverse?
>
> Genau
>
> (Wie macht man so einen coolen Daumen-hoch?)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") schreib in den 2 eckigen Klammer zusammen das Wort "daumenhoch" (alles klein geschrieben) =)
lg
> Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
Cool ^^
Danke :D
Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 05.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Dann könnte die Ebenengleichung so lauten:
> > [mm]E:[\vec{x}-\vektor{3 \\ 2 \\ 5}]*\vektor{2 \\ 0 \\ 2}[/mm] ?
> > Was meinst du mit "wo die Ebene jetzt liegen muss"?
> Das wiederum stimmt jetzt nicht, denn der Punkt (3/2/5)
> liegt ja nicht auf deiner Spiegelebene drauf (es sei denn,
> es ist Zufall), du brauchst noch einen Punkt auf der
> Ebene.
>
> Für den Punkt sehe ich ad hoc zwei "schnelle" Lösungen:
> 1. Der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Punkten
> muss auf der Ebene drauf liegen (das ist einfache
> Vektoraddition der richtigen Vektoren).
>
> 2. Du berechnest einen der Fixpunkte der Matrix, die
> müssen ja auch auf der Spiegelebene liegen. Das geht hier
> auch leicht, weil deine Matrix so viele 0er hat.
>
Hallo,
ich hab doch noch eine Frage zu dieser Aufgabe.Also ich hab jetzt einen Punkt der Ebene nach der 1. Methode berechnet und hab für die Ebene folgende Gleichung: E:x+z=6.
Dann hab ich noch versucht das mit dem Fixpunkt zu machen.Für die Fixpunktmenge hab ich folgende Gleichungen:
z=x
y=y
-x+2z=z
Wäre die Fixpunktmenge dann die Ebene -x+z=0?Und wäre das dann auch die Spiegelebene?
Dann wäre meine erste Ebene, E:x+z=6 , aber falsch oder???
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 So 05.07.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mandy,
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> > > Dann könnte die Ebenengleichung so lauten:
> > > [mm]E:[\vec{x}-\vektor{3 \\ 2 \\ 5}]*\vektor{2 \\ 0 \\ 2}[/mm] ?
> > > Was meinst du mit "wo die Ebene jetzt liegen muss"?
> > Das wiederum stimmt jetzt nicht, denn der Punkt (3/2/5)
> > liegt ja nicht auf deiner Spiegelebene drauf (es sei denn,
> > es ist Zufall), du brauchst noch einen Punkt auf der
> > Ebene.
> >
> > Für den Punkt sehe ich ad hoc zwei "schnelle" Lösungen:
> > 1. Der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden
> Punkten
> > muss auf der Ebene drauf liegen (das ist einfache
> > Vektoraddition der richtigen Vektoren).
> >
> > 2. Du berechnest einen der Fixpunkte der Matrix, die
> > müssen ja auch auf der Spiegelebene liegen. Das geht hier
> > auch leicht, weil deine Matrix so viele 0er hat.
> >
>
> Hallo,
>
> ich hab doch noch eine Frage zu dieser Aufgabe.Also ich hab
> jetzt einen Punkt der Ebene nach der 1. Methode berechnet
> und hab für die Ebene folgende Gleichung: E:x+z=6.
> Dann hab ich noch versucht das mit dem Fixpunkt zu
> machen.Für die Fixpunktmenge hab ich folgende
> Gleichungen:
> z=x
> y=y
> -x+2z=z
> Wäre die Fixpunktmenge dann die Ebene -x+z=0?Und wäre
> das dann auch die Spiegelebene?
> Dann wäre meine erste Ebene, E:x+z=6 , aber falsch
> oder???
Bist Du sicher, dass Du die Matrix richtig aufgeschrieben hast? Die Ebene x+z=6 ist nicht die Spiegelebene, was Du schnell z.B. mit dem Punkt P(1;0;5) prüfen kannst. Die Überlegungen dazu sind aber richtig. Das kann nur bedeuten, dass die Matrix nicht zu einer orthogonalen Spiegelung gehört.
Gruß
Sigrid
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 So 05.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> >
> > > > Dann könnte die Ebenengleichung so lauten:
> > > > [mm]E:[\vec{x}-\vektor{3 \\ 2 \\ 5}]*\vektor{2 \\ 0 \\ 2}[/mm] ?
> > > > Was meinst du mit "wo die Ebene jetzt liegen
> muss"?
> > > Das wiederum stimmt jetzt nicht, denn der Punkt
> (3/2/5)
> > > liegt ja nicht auf deiner Spiegelebene drauf (es sei denn,
> > > es ist Zufall), du brauchst noch einen Punkt auf der
> > > Ebene.
> > >
> > > Für den Punkt sehe ich ad hoc zwei "schnelle" Lösungen:
> > > 1. Der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden
> > Punkten
> > > muss auf der Ebene drauf liegen (das ist einfache
> > > Vektoraddition der richtigen Vektoren).
> > >
> > > 2. Du berechnest einen der Fixpunkte der Matrix, die
> > > müssen ja auch auf der Spiegelebene liegen. Das geht hier
> > > auch leicht, weil deine Matrix so viele 0er hat.
> > >
> >
> > Hallo,
> >
> > ich hab doch noch eine Frage zu dieser Aufgabe.Also ich hab
> > jetzt einen Punkt der Ebene nach der 1. Methode berechnet
> > und hab für die Ebene folgende Gleichung: E:x+z=6.
> > Dann hab ich noch versucht das mit dem Fixpunkt zu
> > machen.Für die Fixpunktmenge hab ich folgende
> > Gleichungen:
> > z=x
> > y=y
> > -x+2z=z
> > Wäre die Fixpunktmenge dann die Ebene -x+z=0?Und wäre
> > das dann auch die Spiegelebene?
> > Dann wäre meine erste Ebene, E:x+z=6 , aber falsch
> > oder???
>
> Bist Du sicher, dass Du die Matrix richtig aufgeschrieben
> hast? Die Ebene x+z=6 ist nicht die Spiegelebene, was Du
> schnell z.B. mit dem Punkt P(1;0;5) prüfen kannst. Die
> Überlegungen dazu sind aber richtig. Das kann nur
> bedeuten, dass die Matrix nicht zu einer orthogonalen
> Spiegelung gehört.
>
Ja,die Matrix ist richtig so.Ist denn die Ebene E:-x+z=0 die Spiegelebene?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 So 05.07.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mandy,
Sie ist Fixpunktebene, müsste also Spiegelebene sein, wenn es sich um eine orthogonale Spiegelung handeln würde. Aber, wenn wir uns nicht alle an derselben Stelle verrechnet haben, kann es das m.E. nicht sein.
Gruß
Sigrid
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 05.07.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> Sie ist Fixpunktebene, müsste also Spiegelebene sein, wenn
> es sich um eine orthogonale Spiegelung handeln würde.
> Aber, wenn wir uns nicht alle an derselben Stelle
> verrechnet haben, kann es das m.E. nicht sein.
>
Hmmm,ich find das voll komisch.Eigentlich müsste die Ebene E:x+z=6 stimmen,aber ich versteh nicht wo da der Fehler liegt.Weiß jemand vielleicht wo hier der Fehler liegt?
lg
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> Weiß jemand vielleicht wo hier der Fehler liegt?
Hallo,
die von Dir gepostete Matrix ist keine Spiegelung an einer Ebene (Eigenwerte berechnen), und deshalb kann man keine Spiegelebene bestimmen.
Eine Fixebene gibt's: [mm] <\vektor{1\\0\\1}, \vektor{0\\1\\0}>, [/mm] also die, die senkrecht zu [mm] \vektor{-1\\0\\1} [/mm] ist, die schon gefundene Ebene -x+z=0.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 19.08.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> > Weiß jemand vielleicht wo hier der Fehler liegt?
>
> Hallo,
>
> die von Dir gepostete Matrix ist stellt keine Spiegelung
> an einer Ebene (Eigenwerte berechnen), und deshalb kann man
> keine Spiegelebene bestimmen.
Ok,ich versteh aber noch nicht so ganz was mir hier die Eigenwerte sagen.Bereche ich das so: [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 }*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{3 \\ 2 \\ 5}?
[/mm]
Aber was sagt mir das denn?
> Eine Fixebene gibt's: [mm]<\vektor{1\\0\\1}, \vektor{0\\1\\0}>,[/mm]
> also die, die senkrecht zu [mm]\vektor{-1\\0\\1}[/mm] ist, die schon
> gefundene Ebene -x+z=0.
Die Fixebene ist hier offensichtlich nicht die Spiegelebene.Aber was ist es dann für eine Ebene?Also welche Rolle spielt sie hier,an ihr wird ja nicht orthogonal gespiegelt,aber was passiert dann mit ihr?
Kann man das so sagen,dass hier eine Abbildung stattfindet und dass die Fixebene die Ebene von den Punkten ist, die auf sich selbst abgebildet werden?Nur ist es so,dass es keine orthogonale Spiegelung ist,sondern irgend eine andere???
lg
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> > die von Dir gepostete Matrix ist stellt keine Spiegelung
> > an einer Ebene (Eigenwerte berechnen), und deshalb kann man
> > keine Spiegelebene bestimmen.
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> Ok,ich versteh aber noch nicht so ganz was mir hier die
> Eigenwerte sagen.
Hallo,
mir ist gerade nicht klar, ob Du noch zur Schule gehst oder studierst.
Wenn Du in der Schule bist, kannst Du die Eigenwerte erstmal vergessen.
Wenn du Dich für die Menge der Fixpunkte interessierst, errechnest, berechnest Du die v mit Av=v <==> (A-E)v=0.
Hier bekommst du die Ebene, die ich angegeben habe.
Wäre nun die Abbildung eine Spiegelung, so wäre das die Spiegelebene, und der Normalenvektor müßte "umklappen". Das tut er aber nicht. Also ist's keine Spiegelung.
Da Deine Matrix nicht zur Aufgabenstellung paßt, ist entweder ein Druckfehler in der Aufgabe, oder Du hast sie falsch abgeschrieben. Ich glaube nicht, daß Du Dir deswegen graue Haare wachsen lassen mußt.
> Bereche ich das so: [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 }*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{3 \\ 2 \\ 5}?[/mm]
> Aber was sagt mir das denn?
Daß der Punkt [mm] *\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] auf den errechneten Punkt abgebildet wird.
>
>
> > Eine Fixebene gibt's: [mm]<\vektor{1\\0\\1}, \vektor{0\\1\\0}>,[/mm]
> > also die, die senkrecht zu [mm]\vektor{-1\\0\\1}[/mm] ist, die schon
> > gefundene Ebene -x+z=0.
>
> Die Fixebene ist hier offensichtlich nicht die
> Spiegelebene.
Naja, offensichtlich ist vielleicht etwas übertrieben.
> Aber was ist es dann für eine Ebene?Also
> welche Rolle spielt sie hier,an ihr wird ja nicht
> orthogonal gespiegelt,aber was passiert dann mit ihr?
> Kann man das so sagen,dass hier eine Abbildung stattfindet
> und dass die Fixebene die Ebene von den Punkten ist, die
> auf sich selbst abgebildet werden?
Ja.
> Nur ist es so,dass es
> keine orthogonale Spiegelung ist,sondern irgend eine
> andere???
Es ist eine Abbildung, die die berechnete Ebene festläßt, aber das ist keine Spiegelung. Auch keine nicht-orthogonale.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Mi 19.08.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
>
> mir ist gerade nicht klar, ob Du noch zur Schule gehst oder
> studierst.
> Wenn Du in der Schule bist, kannst Du die Eigenwerte
> erstmal vergessen.
Vielen Dank.Ich geh noch zur Schule,aber die Eigenwerte hatten wir schon kurz besprochen.Da ist wohl höchstwahrscheinlich ein Druckfehler in der Aufgabe.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mi 01.07.2009 | | Autor: | abakus |
> a) Die Abbildung f mit der Matrix [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 }[/mm]
> stellt eine orthogonale Spiegelung an einer Ebene
> dar.Bestimmen Sie eine Gleichung der Spiegelebene sowie die
> Spiegelungsrichtung.
>
> b) Die Abbildung g macht die Abbildung f rückgängig
> (Umkehrabbildung).Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix G
> dieser Abbildung.Weisen Sie die Umkehreigenschaft allgemein
> nach.
> Hallo nochmal ^^
>
> Ich hab hier eine weitere Aufgabe bei der ich nicht mehr
> weiterkomme.
>
> zu a) Also ich weiß,wie man zu einer gegebenen Ebene die
> Abbildungsmatrix bestimmt.Aber zu einer Matrix die Ebene
> bestimmen,das weiß ich nicht.
> Ich hab keinen Plan,wie ich hier rangehn soll.
> Wenn man aus einer Ebene die Matrix bestimmt,dann ging das
> ja über das Lotfußpunktverfahren,aber das kann man hier
> doch nicht "rückwärts" gehn oder?
> Hat jemand einen Tipp für mich,wie ich an die Aufgabe
> rangehen kann?
>
> Vielen Dank
> lg
Hallo,
die Nacheinanderausführung "Spiegelung - Rückspiegelung" ergibt die identische Abbildung.
Gruß Abakus
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