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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Di 21.08.2007 | | Autor: | jane882 |
| Aufgabe | | a= ( 1 2 2 ), b( 2 1 -1), c= (-2 1 0 ) |
Ich soll eine Ebene durch a b und c darstellen:
E: x= ( 1 2 2) + Lamnda ( 1 -1 -3) + Mü (-3 -1 -2)
jetzt muss ich die ebene in allen darstellungsformen darstellen:
parameterform ( hab ich ja)
normalenform
korrdinatenform
hessesche form
achsenabschnittsform
Normalenform:
Da hab ich Kreuzprodukt mit den Richtungsvektoren gemacht: ( -1 11 -4) ?
Korrdinatenform:
-1x+ 11y-4z , aber muss da nicht noch = hin?
Hessesche und Achsenabschnittsform weiß ich nicht:( Könnt ihr mir behilflich sein?
Danke:)
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> ...
> a= ( 1 2 2 ), b( 2 1 -1), c= (-2 1 0 )
>
> Ich soll eine Ebene durch a b und c darstellen:
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> E: [mm] \vec{a}= \vektor{1 \\ 2\\2}+ \lambda\vektor{1 \\ -1\\-3}+\mu\vektor{-3 \\ -1\\-2} [/mm]
>
>
>
> jetzt muss ich die ebene in allen darstellungsformen
> darstellen:
> parameterform ( hab ich ja)
> normalenform
> korrdinatenform
> hessesche form
> achsenabschnittsform
>
> Normalenform:
> Da hab ich Kreuzprodukt mit den Richtungsvektoren gemacht:
> ( -1 11 -4) ?
Hallo,
den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] zu bestimmen, ist eine gute Idee.
>
> Korrdinatenform:
> -1x+ 11y-4z , aber muss da nicht noch = hin?
Ganz recht! [mm] "=\vec{n}*\vektor{1 \\ 2\\2}" [/mm] gehört da hin.
>
> Hessesche
Wenn Du den Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{n_1 \\ n_2\\n_3} [/mm] hast, ist das ziemlich einfach: Du normierst ihn: [mm] \vec{n_0}=\bruch{\vec{n}}{\wurzel{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}.
[/mm]
Mit [mm] \vec{n_0}(\vec{x}- \underbrace{\vektor{1 \\ 2\\2}}_{Punkt.in.d.Ebene})=0
[/mm]
hast Du's.
> und Achsenabschnittsform
Die geht so: [mm] \bruch{x}{a}+ \bruch{y}{b} [/mm] + [mm] \bruch{z}{c} [/mm] = 1.
a,b,c sind die Achsenabschnitte.
Es ist z.B. b der y-Achsenabschnitt.
b kannst Du aus der Koordinatenform -1x+ 11y-4z =Zahl erhalten, indem Du x=z=0 setzt.
Dann hättest Du mit x=z=0 noch 11y=Zahl, und Dein Achsenabschnitt b wäre [mm] b=\bruch{Zahl}{11}.
[/mm]
Die anderen genauso.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 21.08.2007 | | Autor: | jane882 |
wieso ist der normalenvektor denn nicht richtig:(
ich habe (1 -1 -3) * (-3 -1 -2) mit dem kreuzprodukt verwendet, sprich:
(-1)*(-2)-(-3)*(-1)
(-3)*(-3)-1*(-2)
1*(-1)-(-1)*(-3)
und da kommt dann -1 11 -4 raus :(
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> ...
> wieso ist der normalenvektor denn nicht richtig:(
>
> ich habe (1 -1 -3) * (-3 -1 -2) mit dem kreuzprodukt
> verwendet, sprich:
>
> (-1)*(-2)-(-3)*(-1)
> (-3)*(-3)-1*(-2)
> 1*(-1)-(-1)*(-3)
>
> und da kommt dann -1 11 -4 raus :(
Hallo,
doch, der Normalenvektor ist richtig.
Ich habe in Deiner Parameterform einen Tippfehler übersehen.
Guck Dir mal den ersten Richtungsvektor an, den Du dort angibst.
(Ich bearbeite das gleich.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Di 21.08.2007 | | Autor: | jane882 |
also ist die parameterform und der normalenvektor sind doch richtig oder:(
die koordinatenform heißt dann: -1x+11y-4z= -n * ( 1 2 2 ) ?
danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 21.08.2007 | | Autor: | jane882 |
achso also:
(-1 11 -4) * (1 2 2)= -1*1+ 11*2* (-4)*2 = 13
-> -1x+11y-4z= 13 ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Di 21.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jane!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Di 21.08.2007 | | Autor: | jane882 |
das mit der hesseschen hab ich noch nicht ganz verstanden: so ?
n= -1+11-4/ Wurzel aus (-1)²+ (11)²+ (-4)²
6/ 138 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Di 21.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jane!
Den Betrag des Normalenvektors hast Du richtig ermittelt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber um die HESSE'sche Normalform zu erhalten, musst Du die Normalenform durch den Betrag teilen:
[mm] $\vektor{-1\\11\\-4}*\vec{x} [/mm] \ = \ 13$
Und diese Gleichung nun durch [mm] $\left|\vec{n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{138}$ [/mm] teilen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Di 21.08.2007 | | Autor: | jane882 |
durch Wurzel 138 teilen, wie geht denn das:( wir haben die formel noch nie verwendet, könntest du mir das vielleicht bei meinem beispiel mal zeigen? ich weiß WIRKLICH nicht, wie das geht:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Di 21.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jane!
Aber Du wirst doch wissen, wie man eine Gleichung durch eine Zahl teilt  ...
$ [mm] \vektor{-1\\11\\-4}\cdot{}\vec{x} [/mm] \ = \ 13 $ [mm] $\left| \ : \ \wurzel{138}$
$ \bruch{1}{\wurzel{138}}*\vektor{-1\\11\\-4}\cdot{}\vec{x} \ = \ \bruch{13}{\wurzel{138}} \ \approx \ 1.107$
Gruß
Loddar
PS: Du musst nicht jedesmal diese 3 Punkte bzw. Striche in das Fragenfeld machen. Lass es bei einer Rückfrage einfach frei. :-)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Di 21.08.2007 | | Autor: | jane882 |
ok:) aber was ist dann genau die hessesche form? 1,1 ja nicht:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Di 21.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jane!
Die HESSE'sche Normalform ist selbstverständlich die gesamte Gleichung (und nicht nur Teile davon): [mm] $\vec{n}_0*\vec{x} [/mm] \ = \ d$ .
$ [mm] \underbrace{\bruch{1}{\wurzel{138}}\cdot{}\vektor{-1\\11\\-4}}_{= \ \vec{n}_0}\cdot{}\vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{13}{\wurzel{138}}}_{= \ d} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1.107 $
Denn [mm] $\bruch{1}{\wurzel{138}}\cdot{}\vektor{-1\\11\\-4}$ [/mm] gibt genau den normierten Normalenvektor [mm] $\vec{n}_0$ [/mm] an (d.h. den Normalenvektor mit der Länge [mm] $\left|\vec{n}_0\right| [/mm] \ = \ 1$ ).
Und $d_$ gibt den Abstand der Ebene zum Koordinatenurspung an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 21.08.2007 | | Autor: | jane882 |
zuletzt noch zu achsenabschnittsform
b= 13/ 11
a= -13/ 1
c= -13/ 4 ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jane!
Diese Beiwerte sind richtig. Die vollständige Achsenabschnittsform lautet aber:
[mm] $\bruch{x}{a}+\bruch{y}{b}+\bruch{z}{c} [/mm] \ = \ 1$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mi 22.08.2007 | | Autor: | jane882 |
also:
x/-13/1 + y/13/11 + z/-13/4 = 1?
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Hallo
Das stimmt schon, nur kann man das wesentlich schöner mit einem bzw 3 Brüchen schreiben.
z.B.:x/(-13/1)=-x/13
Gruß
Reinhold
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