Ebene, Winkel, Länge < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben seien vier Punkte im [mm] \IR^3 [/mm] :
A: [mm] \vec{a}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix};
[/mm]
B: [mm] \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 9 \end{pmatrix};
[/mm]
C: [mm] \vec{c}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix};
[/mm]
D: [mm] \vec{d}=\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix};
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die vier Punkte A, B, C und D nicht in einer Ebene liegen.
b) Wie groß ist der Winkel, unter dem sich die Geraden AB und BC schneiden?
c) Berechnen Sie die Länge der kürzesten aller möglichen Verbindungsstrecken der vier Punkte. |
Hi, ich hab irgendwie keine genau Vorstellung, was ich da machen soll, vieleicht könnte es mir jemand erklären, wär echt super!
Zu a) keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll!!!
Zu b)
AB= [mm] \begin{Bmatrix} \vec x / \vec x =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +r* \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 9 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}
[/mm]
BC= [mm] \begin{Bmatrix} \vec x / \vec x =\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 9 \end{pmatrix} +s* \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}
[/mm]
[mm] \vec b_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 9 \end{pmatrix}
[/mm]
und
[mm] \vec b_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec b_1 [/mm] * [mm] \vec b_2 [/mm] = -17
[mm] \begin{vmatrix}
b_1 & b_2 \\
\end{vmatrix} [/mm] = [mm] \wurzel{97} [/mm] * [mm] \wurzel{41} [/mm]
[mm] \cos \alpha [/mm] = 105,64°
Ob das stimmt glaube ich nicht wirklich, es ist nur als Versuch anzusehen!!!
zu c)
Wie a), ich weiß einfach nicht, wie ich da vorgehen soll.
|
|
| |
|
Hallo Chrissi!
Ermittle aus 3 der 4 Punkten eine Ebenengleichung und setze anschließend die Koordinaten des 4. Punktes in diese Ebenengleichung ein.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo Chrissi!
Wie hast Du denn die Richtungsvektoren der beiden Geraden ermittelt?
Denn diese sind hier leider falsch. Es gilt:
[mm] $$\overrightarrow{AB} [/mm] \ = \ [mm] \vec{b}-\vec{a} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0\\-4\\9}-\vektor{4\\0\\1} [/mm] \ = \ ...$$
[mm] $$\overrightarrow{BC} [/mm] \ = \ [mm] \vec{c}-\vec{b} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{6\\2\\-1}-\vektor{0\\-4\\9} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo Chrissi!
Bestimme für alle möglichen Punktverbindungen jeweils den Abstand.
Beispiel für [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] :
$$d(AB) \ = \ [mm] \left|\overrightarrow{AB}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\vektor{0\\-4\\9}-\vektor{4\\0\\1}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\vektor{-4\\-4\\8}\right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{(-4)^2+(-4)^2+8^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{96} [/mm] \ = \ [mm] 4*\wurzel{6} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 9.80$$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Also für a) hab ich´s jetzt so versucht:
[mm] E:x=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Irgendwie kommt bei mir für s=1 und für t=3 raus, dass glaube ich stimmt aber nicht, also hab ich irgendwas falsch gemacht, ich weiß nur noch nicht was!?!
zu b)
[mm] \vec{AB} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{BC} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec {b_1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec {b_2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{vmatrix}
b_1 & b_2 \\
\end{vmatrix} [/mm] = -128
[mm] \cos \alpha [/mm] = -128 / [mm] \wurzel{32} [/mm] * [mm] \wurzel{172}
[/mm]
Geht aber nicht! Richtig so oder??
zu c)
[mm] \vec{AB} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} =\wurzel{(-4)^2+(-4)^2+8^2} =\wurzel{96} [/mm] = 9,80
[mm] \vec{BC} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix} =\wurzel{6^2+6^2+(-10)^2} =\wurzel{172} [/mm] = 13,11
[mm] \vec{CD} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} =\wurzel{(-4)^2+4^2} [/mm] =0
[mm] \vec{DA} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} =\wurzel{2^2+(-6)^2+2^2} =\wurzel{44} [/mm] = 6,63
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Chrissi,
> Also für a) hab ich´s jetzt so versucht:
> [mm]E:x=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Irgendwie kommt bei mir für s=1 und für t=3 raus, dass
> glaube ich stimmt aber nicht, also hab ich irgendwas falsch
> gemacht, ich weiß nur noch nicht was!?!
Ich denke, Du hast vergessen, die dritte Gleichung zu überprüfen. Um s und t zu berechnen, brauchst du ja nur 2 Gleichungen. Du musst dann noch die gefundenen Werte in die 3. Gleichung einsetzen, um zu sehen, ob auch diese erfüllt ist.
>
> zu b)
> [mm]\vec{AB}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec{BC}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec {b_1}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec {b_2}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{vmatrix}
b_1 & b_2 \\
\end{vmatrix}[/mm] = -128
> [mm]\cos \alpha[/mm] = -128 / [mm]\wurzel{32}[/mm] * [mm]\wurzel{172}[/mm]
> Geht aber nicht! Richtig so oder??
Bei der Berechnung der Länge von $ [mm] \vec{b_1} [/mm] $ hast du dich verrechnet. Achte bitte auch darauf, dass man immer den spitzen winkel als Winkel zwischen zwei Geraden nimmt.
>
> zu c)
> [mm]\vec{AB}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} =\wurzel{(-4)^2+(-4)^2+8^2} =\wurzel{96}[/mm]
> = 9,80
> [mm]\vec{BC}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix} =\wurzel{6^2+6^2+(-10)^2} =\wurzel{172}[/mm]
> = 13,11
> [mm]\vec{CD}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} =\wurzel{(-4)^2+4^2}[/mm]
> =0
Das kann nicht stimmen, da nur der Nullvektor die Länge 0 hat. Es gilt doch $ [mm] (-4)^2 [/mm] + [mm] 4^2 [/mm] = 16 + 16 = 32 $
> [mm]\vec{DA}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} =\wurzel{2^2+(-6)^2+2^2} =\wurzel{44}[/mm]
> = 6,63
Überprüfe auch bitte noch einmal deine Vektoren. Da stecken noch Vorzeichenfehler drin, die auf das Ergebnis keinen Einfluss haben. Außerdem musst du noch die Schreibweise korrigieren. Du darfst zwischen einem Vektor und seiner Länge kein Gleichheitszeichen setzen.
Gruß
Sigrid
>
>
>
|
|
|
| |
|
zu a) egal, was ich bis jetzt für s oder t rausbekommen hatte, es ließ sich nicht für die 3. Gleichung einsetzen.
Es war ja:
4+4s-2t=2
4s-2t=6
1-8s+2t=-1
bei der 1. und 2. Gleichung bekomme ich nichts raus, 2. und 3 Gleichung s=-1 und t=-5, passt nicht in die 1. Gleichung. 1. und 3. Gleichung s=1 und t=3. Wo ist denn jetzt das Problem, sind meine Gleichungen falsch oder rechne ich falsch???
zu b)
war ja:
> > zu b)
> > [mm]\vec{AB}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > [mm]\vec{BC}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix}[/mm]
> >
>
> > [mm]\vec {b_1}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > [mm]\vec {b_2}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > [mm]\begin{vmatrix}
b_1 & b_2 \\
\end{vmatrix}[/mm] = -128
> > [mm]\cos \alpha[/mm] = -128 / [mm]\wurzel{32}[/mm] * [mm]\wurzel{172}[/mm]
> > Geht aber nicht! Richtig so oder??
>
> Bei der Berechnung der Länge von [mm]\vec{b_1}[/mm] hast du dich
> verrechnet. Achte bitte auch darauf, dass man immer den
> spitzen winkel als Winkel zwischen zwei Geraden nimmt.
wüsste ich jetzt nicht, was daran falsch sein sollte, hab ich genauso wie die anderen gemacht!?
zu c)
> > [mm]\vec{CD}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} =\wurzel{(-4)^2+4^2}[/mm]
> > =0
>
> Das kann nicht stimmen, da nur der Nullvektor die Länge 0
> hat. Es gilt doch [mm](-4)^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32[/mm]
Ok, hab ich verstanden, falsch gerechnet. Ergebnis 5,657.
>
> Überprüfe auch bitte noch einmal deine Vektoren. Da stecken
> noch Vorzeichenfehler drin, die auf das Ergebnis keinen
> Einfluss haben.
Die hab ich nicht gefunden. Soll ich die vorgegeben Vorzeichen ignorieren oder ???
Fällt mir irgendwie sehr schwer dieses Thema, sorry!!!!
|
|
|
| |
|
Hallo Chrissi21,
> zu a) egal, was ich bis jetzt für s oder t rausbekommen
> hatte, es ließ sich nicht für die 3. Gleichung einsetzen.
>
> Es war ja:
> 4+4s-2t=2
> 4s-2t=6
> 1-8s+2t=-1
>
> bei der 1. und 2. Gleichung bekomme ich nichts raus, 2. und
> 3 Gleichung s=-1 und t=-5, passt nicht in die 1. Gleichung.
> 1. und 3. Gleichung s=1 und t=3. Wo ist denn jetzt das
> Problem, sind meine Gleichungen falsch oder rechne ich
> falsch???
>
Warum hältst du dich nicht an die Anweisungen von Roadrunner?
A: $ [mm] \vec{a}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; [/mm] $
B: $ [mm] \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 9 \end{pmatrix}; [/mm] $
C: $ [mm] \vec{c}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}; [/mm] $
D: $ [mm] \vec{d}=\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}; [/mm] $
Ebene(A,B,C): [mm] \vec{x}=\vec{a}+r(\vec{b}-\vec{a})+s(\vec{c}-\vec{a})
[/mm]
...
in diese Ebenengleichung setzt du nun [mm] \vec{d}=Ebene(A,B,C) [/mm] ein und prüfst ob es eine eindeutige Lösung für r und s gibt, du musst also ein Gleichungssystem lösen.
Hat es eine Lösung, liegt D auf der Ebene, sonst nicht. Letzteres sollst du aber zeigen!
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Do 28.02.2008 | | Autor: | Chrissi21 |
Alles klar, mein LGS lautet:
4-4r+2s=2
0+4r+4s=6
1-8r-2s=-1
und da ich kein eindeutiges Ergebnis für r und s bekomme, stimmt das, was ich gemacht hab. ok, vielen dank dafür!!!
|
|
|
|
